ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{2}{(1-a^{2})}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{2(1+a^{2})+2(1-a^{2})}{(1-a^{2})(1+a^{2})}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{2+2a^{2}+2-2a^{2}}{1-a^{4}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{4}{1-a^{4}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{4(1+a^{4})+4(1-a^{4})}{(1-a^{4})(1+a^{4})}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{4+4a^{4}+4-4a^{4}}{1-a^{8}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{8}{1-a^{8}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{8(1+a^{8})+8(1-a^{8})}{(1-a^{8})(1+a^{8})}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{8+8a^{8}+8-8a^{8}}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{16(1+a^{16})+16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1-a^{32}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

\(\frac{32}{1-a^{32}}=\frac{32}{1-a^{32}} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

Необходимо доказать следующее тождество:

\(\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^{2}} + \frac{4}{1+a^{4}} + \frac{8}{1+a^{8}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}\)

1. Начнем с преобразования левой части выражения. Объединяем первые два слагаемых:

\(\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a}\). Чтобы привести их к общему знаменателю, умножим числители и знаменатели на \(1-a\) и \(1+a\) соответственно:

\(\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{(1+a) + (1-a)}{(1-a)(1+a)}\)

В числителе получаем: \((1+a) + (1-a) = 2\). В знаменателе используется разность квадратов:

\((1-a)(1+a) = 1-a^{2}\). Таким образом, получаем:

\(\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{2}{1-a^{2}}\)

2. Теперь добавим третье слагаемое \(\frac{2}{1+a^{2}}\). Сначала нужно привести все слагаемые к общему знаменателю. Уже есть \(\frac{2}{1-a^{2}}\), и добавляем к этому \(\frac{2}{1+a^{2}}\). Общий знаменатель для этих дробей будет равен произведению \((1-a^{2})(1+a^{2})\), так как они не имеют общих множителей. Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{2}{1-a^{2}} + \frac{2}{1+a^{2}} = \frac{2(1+a^{2}) + 2(1-a^{2})}{(1-a^{2})(1+a^{2})}\)

В числителе раскрываем скобки:

\(2(1+a^{2}) + 2(1-a^{2}) = 2 + 2a^{2} + 2 — 2a^{2} = 4\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{2}{1-a^{2}} + \frac{2}{1+a^{2}} = \frac{4}{1-a^{4}}\)

3. Теперь добавим следующее слагаемое \(\frac{4}{1+a^{4}}\). Таким образом, мы получаем:

\(\frac{4}{1-a^{4}} + \frac{4}{1+a^{4}} = \frac{4(1+a^{4}) + 4(1-a^{4})}{(1-a^{4})(1+a^{4})}\)

В числителе раскроем скобки:

\(4(1+a^{4}) + 4(1-a^{4}) = 4 + 4a^{4} + 4 — 4a^{4} = 8\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{4}{1-a^{4}} + \frac{4}{1+a^{4}} = \frac{8}{1-a^{8}}\)

4. Переходим к следующей паре слагаемых: \(\frac{8}{1-a^{8}} + \frac{8}{1+a^{8}}\). Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{8}{1-a^{8}} + \frac{8}{1+a^{8}} = \frac{8(1+a^{8}) + 8(1-a^{8})}{(1-a^{8})(1+a^{8})}\)

В числителе раскрываем скобки:

\(8(1+a^{8}) + 8(1-a^{8}) = 8 + 8a^{8} + 8 — 8a^{8} = 16\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{8}{1-a^{8}} + \frac{8}{1+a^{8}} = \frac{16}{1-a^{16}}\)

5. Теперь добавим последнее слагаемое \(\frac{16}{1+a^{16}}\). Переходим к следующей паре дробей:

\(\frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})}\)

В числителе раскрываем скобки:

\(16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16}) = 16 + 16a^{16} + 16 — 16a^{16} = 32\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}\)

6. Теперь, объединяя все слагаемые, мы получаем:

\(\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^{2}} + \frac{4}{1+a^{4}} + \frac{8}{1+a^{8}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}\)

Таким образом, тождество доказано.