ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(\frac{3}{1-a^{2}}+\frac{3}{1+a^{2}}+\frac{6}{1+a^{4}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{3}{1-a^{2}}+\frac{3}{1+a^{2}}+\frac{6}{1+a^{4}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{3(1+a^{2})+3(1-a^{2})}{(1-a^{2})(1+a^{2})}+\frac{6}{1+a^{4}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{3+3a^{2}+3-3a^{2}}{1-a^{4}}+\frac{6}{1+a^{4}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{6}{1-a^{4}}+\frac{6}{1+a^{4}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{6(1+a^{4})+6(1-a^{4})}{(1-a^{4})(1+a^{4})}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{6+6a^{4}+6-6a^{4}}{1-a^{8}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{12}{1-a^{8}}+\frac{12}{1+a^{8}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{12(1+a^{8})+12(1-a^{8})}{(1-a^{8})(1+a^{8})}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{12+12a^{8}+12-12a^{8}}{1-a^{16}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{24}{1-a^{16}}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{24(1+a^{16})+24(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{24+24a^{16}+24-24a^{16}}{1-a^{32}}=\frac{48}{1-a^{32}}\)

\(\frac{48}{1-a^{32}}=\frac{48}{1-a^{32}} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

Необходимо доказать следующее тождество:

\(\frac{3}{1-a^{2}} + \frac{3}{1+a^{2}} + \frac{6}{1+a^{4}} + \frac{12}{1+a^{8}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}\)

1. Начнем с первого шага, объединив первые два слагаемых: \(\frac{3}{1-a^{2}} + \frac{3}{1+a^{2}}\). Чтобы привести их к общему знаменателю, умножим числители и знаменатели на \(1-a^{2}\) и \(1+a^{2}\) соответственно:

\(\frac{3}{1-a^{2}} + \frac{3}{1+a^{2}} = \frac{3(1+a^{2}) + 3(1-a^{2})}{(1-a^{2})(1+a^{2})}\)

2. Упростим числитель:

\(3(1+a^{2}) + 3(1-a^{2}) = 3 + 3a^{2} + 3 — 3a^{2} = 6\)

3. В знаменателе применим формулу разности квадратов:

\((1-a^{2})(1+a^{2}) = 1 — a^{4}\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{3}{1-a^{2}} + \frac{3}{1+a^{2}} = \frac{6}{1-a^{4}}\)

4. Теперь добавим к этой дроби \(\frac{6}{1+a^{4}}\). Чтобы продолжить, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \(\frac{6}{1-a^{4}}\) и \(\frac{6}{1+a^{4}}\) будет равен \((1-a^{4})(1+a^{4})\). Таким образом, получаем:

\(\frac{6}{1-a^{4}} + \frac{6}{1+a^{4}} = \frac{6(1+a^{4}) + 6(1-a^{4})}{(1-a^{4})(1+a^{4})}\)

5. Упростим числитель:

\(6(1+a^{4}) + 6(1-a^{4}) = 6 + 6a^{4} + 6 — 6a^{4} = 12\)

6. В знаменателе снова применяем формулу разности квадратов:

\((1-a^{4})(1+a^{4}) = 1 — a^{8}\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{6}{1-a^{4}} + \frac{6}{1+a^{4}} = \frac{12}{1-a^{8}}\)

7. Теперь добавим \(\frac{12}{1+a^{8}}\). Чтобы объединить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \(\frac{12}{1-a^{8}}\) и \(\frac{12}{1+a^{8}}\) будет равен \((1-a^{8})(1+a^{8})\). Таким образом, получаем:

\(\frac{12}{1-a^{8}} + \frac{12}{1+a^{8}} = \frac{12(1+a^{8}) + 12(1-a^{8})}{(1-a^{8})(1+a^{8})}\)

8. Упростим числитель:

\(12(1+a^{8}) + 12(1-a^{8}) = 12 + 12a^{8} + 12 — 12a^{8} = 24\)

9. В знаменателе снова применяем формулу разности квадратов:

\((1-a^{8})(1+a^{8}) = 1 — a^{16}\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{12}{1-a^{8}} + \frac{12}{1+a^{8}} = \frac{24}{1-a^{16}}\)

10. Теперь добавим \(\frac{24}{1+a^{16}}\). Для объединения этих двух дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(\frac{24}{1-a^{16}}\) и \(\frac{24}{1+a^{16}}\) будет равен \((1-a^{16})(1+a^{16})\). Таким образом, получаем:

\(\frac{24}{1-a^{16}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{24(1+a^{16}) + 24(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})}\)

11. Упростим числитель:

\(24(1+a^{16}) + 24(1-a^{16}) = 24 + 24a^{16} + 24 — 24a^{16} = 48\)

12. В знаменателе снова применяем формулу разности квадратов:

\((1-a^{16})(1+a^{16}) = 1 — a^{32}\)

Таким образом, получаем:

\(\frac{24}{1-a^{16}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}\)

13. Теперь объединяем все полученные результаты:

\(\frac{3}{1-a^{2}} + \frac{3}{1+a^{2}} + \frac{6}{1+a^{4}} + \frac{12}{1+a^{8}} + \frac{24}{1+a^{16}} = \frac{48}{1-a^{32}}\)

Таким образом, тождество доказано.