ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1\), то \(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4\).

\(\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1\)

\(\left(\frac{a-c}{b+c}+1\right) + \left(\frac{b-a}{a+c}+1\right) + \left(\frac{c-b}{a+b}+1\right) = 1 + 3\)

\(\frac{a-c+b+c}{b+c} + \frac{b-a+a+c}{a+c} + \frac{c-b+a+b}{a+b} = 4\)

\(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{c+a}{a+b} = 4 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

Необходимо доказать следующее утверждение: если

\(\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1\), то

\(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4\).

1. Начнем с преобразования левой части выражения, добавив по единице к каждому из членов:

\(\left(\frac{a-c}{b+c} + 1\right) + \left(\frac{b-a}{a+c} + 1\right) + \left(\frac{c-b}{a+b} + 1\right)\)

2. Приведем к общему знаменателю каждый из членов:

\(\frac{a-c}{b+c} + 1 = \frac{a-c + b+c}{b+c} = \frac{a+b}{b+c}\)

\(\frac{b-a}{a+c} + 1 = \frac{b-a + a+c}{a+c} = \frac{b+c}{a+c}\)

\(\frac{c-b}{a+b} + 1 = \frac{c-b + a+b}{a+b} = \frac{a+c}{a+b}\)

3. Таким образом, левая часть выражения превращается в:

\(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b}\)

4. Из условия задачи нам известно, что:

\(\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1\)

5. Подставим это в наше преобразованное выражение:

\(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 1 + 3 = 4\)

6. Таким образом, мы доказали, что:

\(\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4\), что и требовалось доказать.