ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}\), то \(b = 0\) или \(c = 0\).

\(\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}\)

\(\frac{a+b+c}{a+b-c} — \frac{a-b+c}{a-b-c} = 0\)

\(\frac{(a+b+c)(a-b-c)-(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b-c)(a-b-c)} = 0\)

\(\frac{\left(a^{2}-(b+c)^{2}\right)-\left(a^{2}-(b-c)^{2}\right)}{(a-c)^{2}-b^{2}} = 0\)

\(\frac{a^{2}-\left(b^{2}+2bc+c^{2}\right)-a^{2}+\left(b^{2}-2bc+c^{2}\right)}{(a-c)^{2}-b^{2}} = 0\)

\(\frac{-b^{2}-2bc-c^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}}{(a-c)^{2}-b^{2}} = 0\)

\(\frac{-4bc}{(a-c)^{2}-b^{2}} = 0\).

Так как \((a-c)^{2}-b^{2} \neq 0\), то:

\(-4bc = 0 \Rightarrow b = 0\) или \(c = 0\).

Что и требовалось доказать.

Необходимо доказать, что если

\(\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}\), то \(b = 0\) или \(c = 0\).

1. Начнем с того, что у нас есть равенство дробей:

\(\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}\)

2. Чтобы избавиться от дробей, перемножим обе стороны этого равенства на \((a+b-c)(a-b-c)\), то есть на произведение знаменателей обеих дробей:

\((a+b-c)(a-b-c) \cdot \frac{a+b+c}{a+b-c} = (a+b-c)(a-b-c) \cdot \frac{a-b+c}{a-b-c}\)

3. После сокращения на \((a+b-c)\) и \((a-b-c)\) получаем:

\((a+b+c)(a-b-c) = (a-b+c)(a+b-c)\)

4. Теперь раскроем скобки в числителях обеих сторон. Начнем с левой части:

\((a+b+c)(a-b-c) = a(a-b-c) + b(a-b-c) + c(a-b-c)\)

Раскроем скобки для каждого слагаемого:

\(a(a-b-c) = a^{2} — ab — ac\)

\(b(a-b-c) = ab — b^{2} — bc\)

\(c(a-b-c) = ac — bc — c^{2}\)

Таким образом, левая часть выражения будет:

\(a^{2} — ab — ac + ab — b^{2} — bc + ac — bc — c^{2}\)

Теперь упростим её:

\(a^{2} — b^{2} — 2bc — c^{2}\)

5. Теперь раскроем скобки в правой части:

\((a-b+c)(a+b-c) = a(a+b-c) — b(a+b-c) + c(a+b-c)\)

Раскроем скобки для каждого слагаемого:

\(a(a+b-c) = a^{2} + ab — ac\)

\(-b(a+b-c) = -ab — b^{2} + bc\)

\(c(a+b-c) = ac + bc — c^{2}\)

Таким образом, правая часть выражения будет:

\(a^{2} + ab — ac — ab — b^{2} + bc + ac + bc — c^{2}\)

Теперь упростим её:

\(a^{2} — b^{2} + 2bc — c^{2}\)

6. Теперь приравняем левую и правую части:

\(a^{2} — b^{2} — 2bc — c^{2} = a^{2} — b^{2} + 2bc — c^{2}\)

7. Упростим это уравнение, сокращая одинаковые слагаемые \(a^{2}\) и \(c^{2}\) с обеих сторон:

\(-b^{2} — 2bc = -b^{2} + 2bc\)

8. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(-b^{2} — 2bc + b^{2} — 2bc = 0\)

Упростим это выражение:

\(-4bc = 0\)

9. Разделим обе стороны на \(-4\), получаем:

\(bc = 0\)

10. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

\(b = 0\) или \(c = 0\).

Что и требовалось доказать.