ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{1}{a+b+c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \). Докажите, что \( \frac{1}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \).

\( \frac{1}{a+b+c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)

\( \frac{1}{a+b+c} — \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 0 \)

\( \frac{1}{a+b+c} — \frac{bc+ac+ab}{abc} = 0 \)

\( \frac{abc — (bc+ac+ab)(a+b+c)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{abc — abc — b^{2}c — bc^{2} — a^{2}c — ac^{2} — abc — a^{2}b — ab^{2} — abc}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{-b^{2}c — bc^{2} — a^{2}c — ac^{2} — a^{2}b — ab^{2} — abc}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{-\left( a^{2}c + ac^{2} \right) — \left( a^{2}b + bc^{2} + 2abc \right) — \left( b^{2}c + ab^{2} \right)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{-ac(a+c) — b\left( a^{2} + 2ac + c^{2} \right) — b^{2}(a+c)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{-ac(a+c) — b(a+c)^{2} — b^{2}(a+c)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{(a+c)\left( -ac — b(a+c) — b^{2} \right)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{(a+c)\left( -ac — ab — bc — b^{2} \right)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{(a+c)\left( -a(b+c) — b(b+c) \right)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{(a+c)(b+c)(-a-b)}{abc(a+b+c)} = 0 \)

\( \frac{-(a+c)(b+c)(a+b)}{abc(a+b+c)} = 0 \).

Так как \( abc(a+b+c) \neq 0 \), то:
\( a+c = 0 \) или \( b+c = 0 \) или \( a+b = 0 \).

Докажем, что \( \frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \).

Если \( a = -c \), то:
\( \frac{1}{-c^{3}+b^{3}+c^{3}} = \frac{1}{b^{3}} \),
\( \frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{-c^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \Rightarrow \frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{b^{3}} \rightarrow \) верно.

Если \( c = -b \), то:
\( \frac{1}{a^{3}+b^{3}+(-b)^{3}} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{(-b)^{3}} \),
\( \frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} — \frac{1}{b^{3}} \Rightarrow \frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{a^{3}} \rightarrow \) верно.

Если \( b = -a \), то:
\( \frac{1}{a^{3}+(-a)^{3}+c^{3}} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{(-a)^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \),
\( \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3}} — \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \Rightarrow \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{c^{3}} \rightarrow \) верно.

Следовательно, \( \frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \rightarrow \) что и требовалось доказать.

Для доказательства, что \( \frac{1}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \), начнем с анализа данного равенства при условии, что \( \frac{1}{a + b + c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \).

Исходя из условия, имеем:

\( \frac{1}{a+b+c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)

Теперь преобразуем это выражение, используя общий знаменатель для правой части:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc} \)

Таким образом, у нас получается:

\( \frac{1}{a+b+c} = \frac{bc + ac + ab}{abc} \)

Теперь умножим обе части этого уравнения на \( a + b + c \) и \( abc \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( abc = (bc + ac + ab)(a + b + c) \)

Теперь развернем правую часть:

\( (bc + ac + ab)(a + b + c) = bc(a + b + c) + ac(a + b + c) + ab(a + b + c) \)

Каждое из этих произведений можно раскрыть:

\( bc(a + b + c) = bca + bcb + bcc \)

\( ac(a + b + c) = aca + acb + acc \)

\( ab(a + b + c) = aba + abb + abc \)

Сложив все эти выражения, получаем:

\( bca + bcb + bcc + aca + acb + acc + aba + abb + abc \)

Теперь упростим это выражение, объединяя похожие слагаемые:

\( 2abc + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + c^2a \)

Таким образом, мы получили выражение:

\( abc = 2abc + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + c^2a \)

Преобразуем уравнение, чтобы изолировать \( abc \):

\( 0 = abc + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + c^2a \)

Теперь вернемся к основной задаче. Нам нужно доказать, что:

\( \frac{1}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \)

Для этого возьмем наше исходное условие:

\( \frac{1}{a+b+c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)

Воспользуемся этим равенством, чтобы выразить каждое из слагаемых \( a \), \( b \) и \( c \) через дроби. Рассмотрим отдельные случаи:

1. Если \( a = -c \), то:

\( \frac{1}{-c^3 + b^3 + c^3} = \frac{1}{b^3} \)

\( \frac{1}{b^3} = \frac{1}{-c^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \Rightarrow \frac{1}{b^3} = \frac{1}{b^3} \), что верно.

2. Если \( c = -b \), то:

\( \frac{1}{a^3 + b^3 + (-b)^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{(-b)^3} \)

\( \frac{1}{a^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} — \frac{1}{b^3} \Rightarrow \frac{1}{a^3} = \frac{1}{a^3} \), что верно.

3. Если \( b = -a \), то:

\( \frac{1}{a^3 + (-a)^3 + c^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{(-a)^3} + \frac{1}{c^3} \)

\( \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3} — \frac{1}{a^3} + \frac{1}{c^3} \Rightarrow \frac{1}{c^3} = \frac{1}{c^3} \), что верно.

Таким образом, мы доказали, что:

\( \frac{1}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \)

Это и требовалось доказать.