ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = 0 \). Докажите, что одно из слагаемых в левой части равно 0.

\( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = 0 \)

\( \frac{(a-b)(b+c)(c+a) + (b-c)(a+b)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(c+a)\big((a-b)(b+c) + (b-c)(a+b)\big) + (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(c+a)(ab+ac-b^{2}-bc+ab+b^{2}-ac-bc) + (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(c+a)(2ab-2bc) + (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{2b(c+a)(a-c) — (a-c)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)\big(2b(c+a) — (a+b)(b+c)\big)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)\big(2bc+2ab-ab-b^{2}-ac-bc\big)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)\big(bc+ab-ac-b^{2}\big)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)\big(b(c+a)-c(a+b)-b^{2}\big)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)\big(b(a-c)-c(a-b)\big)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{(a-c)(a-b)(b-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \)

\( \frac{-(c-a)(a-b)(b-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \).

Так как \( (a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 \), то:

\( c-a = 0 \) или \( a-b = 0 \) или \( b-c = 0 \).

Следовательно, одно из слагаемых в левой части равенства равно 0.

Что и требовалось доказать.

Задано выражение:

\( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = 0 \)

Нам нужно доказать, что одно из слагаемых в левой части этого равенства равно 0.

1. Для начала выразим левую часть уравнения через общий знаменатель. Рассмотрим дроби \( \frac{a-b}{a+b} \), \( \frac{b-c}{b+c} \) и \( \frac{c-a}{c+a} \). Чтобы привести их к общему знаменателю, нужно найти произведение всех знаменателей:

Общий знаменатель будет: \( (a+b)(b+c)(c+a) \).

Теперь перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

\( \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \),

\( \frac{b-c}{b+c} = \frac{(b-c)(a+b)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \),

\( \frac{c-a}{c+a} = \frac{(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, и мы можем сложить их числители:

\( \frac{(a-b)(b+c)(c+a) + (b-c)(a+b)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 0 \).

2. Следовательно, числитель равен 0:

\( (a-b)(b+c)(c+a) + (b-c)(a+b)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c) = 0 \).

3. Мы видим, что числитель состоит из трех слагаемых. Теперь давайте упростим этот числитель. Для начала выделим общий множитель \( (a+b)(b+c)(c+a) \) из каждого слагаемого числителя:

\( (a-b)(b+c)(c+a) + (b-c)(a+b)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c) = 0 \).

4. Чтобы показать, что одно из слагаемых числителя равно 0, давайте рассмотрим несколько случаев, когда \( a \), \( b \) и \( c \) могут быть равны или при определенных значениях:

5. Рассмотрим случай, когда \( a = b \). В этом случае первое слагаемое \( (a-b)(b+c)(c+a) \) будет равно 0, так как \( a-b = 0 \). Тогда числитель упростится до:

\( (b-c)(a+b)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c) = 0 \).

6. Теперь рассмотрим случай, когда \( b = c \). В этом случае второе слагаемое \( (b-c)(a+b)(c+a) \) будет равно 0, и числитель упростится до:

\( (a-b)(b+c)(c+a) + (c-a)(a+b)(b+c) = 0 \).

7. И, наконец, если \( c = a \), то третье слагаемое \( (c-a)(a+b)(b+c) \) будет равно 0, и числитель упростится до:

\( (a-b)(b+c)(c+a) + (b-c)(a+b)(c+a) = 0 \).

8. В каждом из этих случаев, одно из слагаемых числителя равно 0, что доказывает, что одно из слагаемых в левой части равенства действительно равно 0.

9. Таким образом, мы доказали, что одно из слагаемых в левой части выражения равно 0.

Ответ: одно из слагаемых равно 0.