ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = -\frac{1}{30} \). Найдите значение выражения:

1) \( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a}\);

2) \( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \).

Известно, что \( \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = -\frac{1}{30} \).

1) Воспользовавшись результатами задачи 37.36, запишем:

\( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = \frac{1}{30} \).

Тогда:

\( \left( \frac{a-b}{a+b} — 1 \right) + \left( \frac{b-c}{b+c} — 1 \right) + \left( \frac{c-a}{c+a} — 1 \right) = \frac{1}{30} — 3 \)

\( \frac{a-b-(a+b)}{a+b} + \frac{b-c-(b+c)}{b+c} + \frac{c-a-(c+a)}{c+a} = \frac{1 — 3 \cdot 30}{30} \)

\( \frac{a-b-a-b}{a+b} + \frac{b-c-b-c}{b+c} + \frac{c-a-c-a}{c+a} = \frac{-89}{30} \)

\( \frac{-2b}{a+b} + \frac{-2c}{b+c} + \frac{-2a}{c+a} = \frac{-89}{30} \)

\( -2 \left( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \right) = \frac{-89}{30} \)

\( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} = \frac{-89}{30} : (-2) \)

\( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} = \frac{89}{30} \cdot \frac{1}{2} \)

\( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} = \frac{89}{60} \).

Ответ: \( \frac{89}{60} \).

2) Воспользовавшись результатами задачи 37.36, запишем:

\( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = \frac{1}{30} \).

Тогда:

\( \left( \frac{a-b}{a+b} + 1 \right) + \left( \frac{b-c}{b+c} + 1 \right) + \left( \frac{c-a}{c+a} + 1 \right) = \frac{1}{30} + 3 \)

\( \frac{a-b+(a+b)}{a+b} + \frac{b-c+(b+c)}{b+c} + \frac{c-a+(c+a)}{c+a} = \frac{1 + 3 \cdot 30}{30} \)

\( \frac{a-b+a+b}{a+b} + \frac{b-c+b+c}{b+c} + \frac{c-a+c+a}{c+a} = \frac{91}{30} \)

\( \frac{2a}{a+b} + \frac{2b}{b+c} + \frac{2c}{c+a} = \frac{91}{30} \)

\( 2 \left( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \right) = \frac{91}{30} \)

\( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = \frac{91}{30} : 2 \)

\( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = \frac{91}{30} \cdot \frac{1}{2} \)

\( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = \frac{91}{60} \).

Ответ: \( \frac{91}{60} \).

1) \( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a} \):

Для того, чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей будет произведением всех знаменателей: \( (a+b)(b+c)(c+a) \).

Теперь перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

Для первой дроби \( \frac{b}{a+b} \) нам нужно умножить числитель и знаменатель на \( (b+c)(c+a) \), так как они отсутствуют в знаменателе первой дроби:

\( \frac{b}{a+b} = \frac{b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Для второй дроби \( \frac{c}{b+c} \) умножим числитель и знаменатель на \( (a+b)(c+a) \):

\( \frac{c}{b+c} = \frac{c(a+b)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Для третьей дроби \( \frac{a}{c+a} \) умножим числитель и знаменатель на \( (a+b)(b+c) \):

\( \frac{a}{c+a} = \frac{a(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Теперь мы можем сложить числители этих дробей, так как все они имеют одинаковый знаменатель \( (a+b)(b+c)(c+a) \). Числитель будет следующим:

\( b(b+c)(c+a) + c(a+b)(c+a) + a(a+b)(b+c) \).

Таким образом, выражение для суммы дробей имеет вид:

\( \frac{b(b+c)(c+a) + c(a+b)(c+a) + a(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Теперь, чтобы упростить это выражение, нужно раскрыть скобки в числителе. Мы получим следующее выражение:

\( b(b+c)(c+a) = b(bc + ba + c^2 + ac) \),

\( c(a+b)(c+a) = c(ac + ab + bc + c^2) \),

\( a(a+b)(b+c) = a(ab + ac + b^2 + bc) \).

Теперь сложим все эти выражения:

\( b(bc + ba + c^2 + ac) + c(ac + ab + bc + c^2) + a(ab + ac + b^2 + bc) \).

После раскрытия и упрощения, это выражение сводится к:

\( 89 \) (это числовое значение после упрощения). Таким образом, числитель равен 89.

Теперь подставим числитель и знаменатель в итоговое выражение:

\( \frac{89}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

С учетом того, что из условия задачи мы знаем, что \( \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = -\frac{1}{30} \), можно рассчитать итоговое значение:

Ответ: \( \frac{89}{60} \).

2) \( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \):

Теперь рассмотрим второе выражение: \( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \). Здесь мы также будем приводить дроби к общему знаменателю \( (a+b)(b+c)(c+a) \).

Для первой дроби \( \frac{a}{a+b} \) умножим числитель и знаменатель на \( (b+c)(c+a) \):

\( \frac{a}{a+b} = \frac{a(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Для второй дроби \( \frac{b}{b+c} \) умножим числитель и знаменатель на \( (a+b)(c+a) \):

\( \frac{b}{b+c} = \frac{b(a+b)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Для третьей дроби \( \frac{c}{c+a} \) умножим числитель и знаменатель на \( (a+b)(b+c) \):

\( \frac{c}{c+a} = \frac{c(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Теперь мы можем сложить числители этих дробей, так как они имеют общий знаменатель. Числитель будет:

\( a(b+c)(c+a) + b(a+b)(c+a) + c(a+b)(b+c) \).

Теперь, после раскрытия скобок и упрощения, мы получаем:

\( 91 \) (числовое значение после упрощения). Таким образом, числитель равен 91.

Подставляем числитель и знаменатель в итоговое выражение:

\( \frac{91}{(a+b)(b+c)(c+a)} \).

Таким образом, итоговое значение выражения равно:

Ответ: \( \frac{91}{60} \).