ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} = \frac{3}{2} \). Найдите значение выражения \( \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} \).

Так как \( (a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac \), то:

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a+b+c)^{2} — 2ab — 2ac — 2bc = \)

\( = (a+b+c)^{2} + 2(-ab — ac — bc) \).

Воспользовавшись результатами задачи 37.23:

\( \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0; \)

найдём значение выражения:

\( \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} = \left( \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} \right)^{2} — \)

\( -2\left( \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} \right) = \)

\( = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} — 2 \cdot 0 = \frac{9}{4}. \)

Ответ: \( \frac{9}{4} \).

Задано, что \( \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} = \frac{3}{2} \). Необходимо найти значение выражения:

\( \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} \).

1. Для начала, давайте рассмотрим известное нам выражение:

\( \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} = \frac{3}{2} \).

2. Поставим перед собой цель найти значение выражения:

\( \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} \).

3. Чтобы вычислить это выражение, можно воспользоваться формулой для квадрата суммы, так как в числителях каждого слагаемого присутствуют выражения вида \( \frac{1}{a-b} \), \( \frac{1}{b-c} \) и \( \frac{1}{c-a} \).

4. Мы знаем, что:

\( \left( \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} \right)^{2} = \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} +\)

\( + 2 \cdot \left( \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c} + \frac{1}{b-c} \cdot \frac{1}{c-a} + \frac{1}{c-a} \cdot \frac{1}{a-b} \right) \).

5. Подставим известное значение для суммы:

\( \left( \frac{3}{2} \right)^{2} = \frac{9}{4} \).

6. Получаем следующее уравнение для квадрата суммы:

\( \frac{9}{4} = \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} + 2 \cdot \left( \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c} + \frac{1}{b-c} \cdot \frac{1}{c-a} + \frac{1}{c-a} \cdot \frac{1}{a-b} \right) \).

7. Теперь сосредоточимся на вычислении второго слагаемого. Мы знаем, что:

\( \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c} + \frac{1}{b-c} \cdot \frac{1}{c-a} + \frac{1}{c-a} \cdot \frac{1}{a-b} \) — это сумма произведений попарных дробей.

8. Попробуем упростить выражение. Сначала объединим все дроби в числителе. Из условия задачи знаем, что эта сумма равна 0:

\( \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c} + \frac{1}{b-c} \cdot \frac{1}{c-a} + \frac{1}{c-a} \cdot \frac{1}{a-b} = 0 \).

9. Подставим это значение в исходное уравнение:

\( \frac{9}{4} = \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} + 2 \cdot 0 \).

10. Упростим уравнение:

\( \frac{9}{4} = \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} \).

11. Следовательно, значение выражения:

\( \frac{1}{(a-b)^{2}} + \frac{1}{(b-c)^{2}} + \frac{1}{(c-a)^{2}} = \frac{9}{4} \).

Ответ: \( \frac{9}{4} \).