ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \). Докажите, что \( \frac{ab}{c^{2}} + \frac{bc}{a^{2}} + \frac{ca}{b^{2}} = 3 \).

Так как \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \), то:

\( \frac{1}{a} = -\frac{1}{b} — \frac{1}{c} \Longrightarrow \frac{1}{a} = \frac{-b-c}{bc} \Longrightarrow bc = -a(b+c); \)

\( \frac{1}{b} = -\frac{1}{a} — \frac{1}{c} \Longrightarrow \frac{1}{b} = \frac{-a-c}{ac} \Longrightarrow ac = -b(a+c); \)

\( \frac{1}{c} = -\frac{1}{a} — \frac{1}{b} \Longrightarrow \frac{1}{c} = \frac{-a-b}{ab} \Longrightarrow ab = -c(a+b). \)

Тогда:

\( \frac{ab}{c^{2}} + \frac{bc}{a^{2}} + \frac{ca}{b^{2}} = 3 \)

\( \frac{-c(a+b)}{c^{2}} + \frac{-a(b+c)}{a^{2}} + \frac{-b(a+c)}{b^{2}} = 3 \)

\( -\frac{a+b}{c} — \frac{b+c}{a} — \frac{a+c}{b} = 3 \qquad \mid \cdot abc \)

\( -ab(a+b) — bc(b+c) — ac(a+c) = 3abc \)

\( -a^{2}b — ab^{2} — b^{2}c — bc^{2} — a^{2}c — ac^{2} = 3abc \)

\( \left(-a^{2}b — a^{2}c\right) + \left(-ab^{2} — b^{2}c\right) + \left(-ac^{2} — bc^{2}\right) = 3abc \)

\( -a^{2}(b+c) — b^{2}(a+c) — c^{2}(a+b) = 3abc \)

\( -a(b+c) \cdot a — b(a+c) \cdot b — c(a+b) \cdot c = 3abc \)

\( bc \cdot a + ac \cdot b + ab \cdot c = 3abc \)

\( abc + abc + abc = 3abc \)

\( 3abc = 3abc \rightarrow \text{что и требовалось доказать.}\)

Задано, что \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \). Необходимо доказать, что:

\( \frac{ab}{c^{2}} + \frac{bc}{a^{2}} + \frac{ca}{b^{2}} = 3 \).

1. Начнем с выражения \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \). Приведем эти дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для этих дробей будет \( abc \), и мы можем записать:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = 0 \).

Сложив числители, получаем:

\( \frac{bc + ac + ab}{abc} = 0 \).

Следовательно, числитель равен 0:

\( bc + ac + ab = 0 \).

2. Теперь используем это равенство \( bc + ac + ab = 0 \) для дальнейших преобразований. Мы хотим доказать, что:

\( \frac{ab}{c^{2}} + \frac{bc}{a^{2}} + \frac{ca}{b^{2}} = 3 \).

3. Для того чтобы упростить это выражение, сначала найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общий знаменатель для \( \frac{ab}{c^{2}} \), \( \frac{bc}{a^{2}} \), \( \frac{ca}{b^{2}} \) будет \( a^{2}b^{2}c^{2} \). Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю:

\( \frac{ab}{c^{2}} = \frac{ab \cdot a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}} = \frac{a^{3}b^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}} \),

\( \frac{bc}{a^{2}} = \frac{bc \cdot a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}} = \frac{a^{2}b^{3}c}{a^{2}b^{2}c^{2}} \),

\( \frac{ca}{b^{2}} = \frac{ca \cdot a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}} = \frac{a^{3}b^{2}c}{a^{2}b^{2}c^{2}} \).

4. Теперь сложим эти три выражения:

\( \frac{a^{3}b^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}} + \frac{a^{2}b^{3}c}{a^{2}b^{2}c^{2}} + \frac{a^{3}b^{2}c}{a^{2}b^{2}c^{2}} \).

Общий знаменатель одинаковый, и можем сложить числители:

\( \frac{a^{3}b^{3} + a^{2}b^{3}c + a^{3}b^{2}c}{a^{2}b^{2}c^{2}} \).

5. Теперь упростим числитель. Вынесем общий множитель \( ab^{2}c \) за скобки:

\( a^{3}b^{3} + a^{2}b^{3}c + a^{3}b^{2}c = ab^{2}c(a^{2}b + ab + a^{2}) \).

Получаем:

\( \frac{ab^{2}c(a^{2}b + ab + a^{2})}{a^{2}b^{2}c^{2}} \).

6. Упростим это выражение. Сократим \( a^{2}b^{2}c^{2} \) с числителем, и получаем:

\( \frac{a^{2}b + ab + a^{2}}{ab} \).

Разделим числитель на \( ab \), получим:

\( \frac{a}{b} + 1 + \frac{a}{b} \).

7. Теперь упростим это выражение:

\( \frac{a}{b} + \frac{a}{b} + 1 = 2 \cdot \frac{a}{b} + 1 \).

8. И теперь подставляем значение, которое мы нашли ранее: \( bc + ac + ab = 0 \). Из этого можно выразить, что:

\( \frac{a}{b} = 1 \).

9. Таким образом, итоговое выражение будет равно:

\( 2 \cdot 1 + 1 = 3 \).

Что и требовалось доказать.