ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби выражение:

1) \( \frac{a}{a — b} + \frac{a}{b} \)

2) \( \frac{4}{x} — \frac{5x + 4}{x + 2} \)

3) \( \frac{b}{b — 2} — \frac{2}{b + 2} \)

1) \( \frac{a}{a — b} + \frac{a}{b} = \frac{ab + a(a — b)}{b(a — b)} = \frac{ab + a^2 — ab}{b(a — b)} = \frac{a^2}{b(a — b)}; \)

2) \( \frac{4}{x} — \frac{5x + 4}{x + 2} = \frac{4(x + 2) — x(5x + 4)}{x(x + 2)} = \)
\( = \frac{4x + 8 — 5x^2 — 4x}{x(x + 2)} = \frac{8 — 5x^2}{x(x + 2)}; \)

3) \( \frac{b}{b — 2} — \frac{2}{b + 2} = \frac{b(b + 2) — 2(b — 2)}{(b — 2)(b + 2)} = \frac{b^2 + 2b — 2b + 4}{b^2 — 4} = \frac{b^2 + 4}{b^2 — 4}. \)

1) \( \frac{a}{a — b} + \frac{a}{b} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(b(a — b)\), так как это произведение обоих знаменателей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a}{a — b} = \frac{a \cdot b}{b(a — b)} \) и \( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot (a — b)}{b(a — b)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{a}{a — b} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot b + a \cdot (a — b)}{b(a — b)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( a \cdot (a — b) = a^2 — ab \), и подставим это в числитель:

\( a \cdot b + a \cdot (a — b) = ab + a^2 — ab. \)

Теперь упростим числитель:

\( ab + a^2 — ab = a^2 \), поэтому итоговое выражение будет:

\( \frac{a^2}{b(a — b)}. \)

2) \( \frac{4}{x} — \frac{5x + 4}{x + 2} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(x(x + 2)\), так как это произведение обоих знаменателей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{4}{x} = \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)} \) и \( \frac{5x + 4}{x + 2} = \frac{x(5x + 4)}{x(x + 2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{4}{x} — \frac{5x + 4}{x + 2} = \frac{4(x + 2) — x(5x + 4)}{x(x + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 4(x + 2) = 4x + 8 \), и \( x(5x + 4) = 5x^2 + 4x \).

Подставим эти выражения в числитель:

\( 4x + 8 — (5x^2 + 4x) = 4x + 8 — 5x^2 — 4x. \)

Упростим числитель:

\( 4x — 4x = 0 \), поэтому остаётся:

\( 8 — 5x^2. \)

И итоговое выражение будет:

\( \frac{8 — 5x^2}{x(x + 2)}. \)

3) \( \frac{b}{b — 2} — \frac{2}{b + 2} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \((b — 2)(b + 2)\), это разность квадратов, то есть \(b^2 — 4\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{b}{b — 2} = \frac{b(b + 2)}{(b — 2)(b + 2)} \) и \( \frac{2}{b + 2} = \frac{2(b — 2)}{(b — 2)(b + 2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{b}{b — 2} — \frac{2}{b + 2} = \frac{b(b + 2) — 2(b — 2)}{(b — 2)(b + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( b(b + 2) = b^2 + 2b \), и \( 2(b — 2) = 2b — 4 \).

Подставим эти выражения в числитель:

\( b^2 + 2b — (2b — 4) = b^2 + 2b — 2b + 4 = b^2 + 4. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{b^2 + 4}{b^2 — 4}. \)