ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \( \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+c-b}{b} = \frac{b+a-c}{c} \). Какие значения может принимать выражение \( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \)?

Первый случай:

\( \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+c-b}{b} = \frac{b+a-c}{c} \)

\( \frac{b+c-a}{a} + 2 = \frac{a+c-b}{b} + 2 = \frac{b+a-c}{c} + 2 \)

\( \frac{b+c-a+2a}{a} = \frac{a+c-b+2b}{b} = \frac{b+a-c+2c}{c} \)

\( \frac{a+b+c}{a} = \frac{a+b+c}{b} = \frac{a+b+c}{c} \).

Так как числители данных дробей равны, то и знаменатели равны, то есть: \( a = b = c \).

Тогда:

\( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{2a \cdot 2a \cdot 2a}{a \cdot a \cdot a} = 8. \)

Второй случай:

\( \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+c-b}{b} = \frac{b+a-c}{c} \)

\( \frac{b+c-a}{a} — 1 = \frac{a+c-b}{b} — 1 = \frac{b+a-c}{c} — 1 \)

\( \frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c}. \)

\( \frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} \)

\( b(b+c) = a(a+c) \)

\( b^{2} + bc = a^{2} + ac \)

\( b^{2} — a^{2} = ac — bc \)

\( (b-a)(b+a) = -c(b-a) \)

\( -c = \frac{(b-a)(b+a)}{(b-a)} \)

\( -c = b + a \)

\( c = -b — a. \)

Тогда:

\( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{(a+b)(b-b-a)(-b-a+a)}{abc} = \)

\( = \frac{(a+b) \cdot (-a) \cdot (-b)}{abc} = \frac{ab(a+b)}{abc} = \frac{a+b}{c} = \frac{-c}{c} = -1. \)

Ответ: \(-1\) или \(8\).

Первый случай:

Дано выражение:

\( \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+c-b}{b} = \frac{b+a-c}{c} \).

1. Из этого равенства мы видим, что все три дроби равны. Это означает, что числители этих дробей должны быть пропорциональны их знаменателям. Теперь рассмотрим сумму каждой из дробей с добавлением числа 2:

\( \frac{b+c-a}{a} + 2 = \frac{a+c-b}{b} + 2 = \frac{b+a-c}{c} + 2 \).

2. Перепишем это выражение с учетом добавления 2. Это эквивалентно следующему:

\( \frac{b+c-a+2a}{a} = \frac{a+c-b+2b}{b} = \frac{b+a-c+2c}{c} \).

3. Теперь получаем, что числители в каждой из дробей стали равны, так как \( a + b + c \) в числителях одинаковы, и можем записать:

\( \frac{a+b+c}{a} = \frac{a+b+c}{b} = \frac{a+b+c}{c} \).

4. Так как числители этих дробей равны, то и знаменатели также должны быть равны. Следовательно, мы получаем, что:

\( a = b = c \).

5. Теперь подставим это в выражение \( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \), предполагая, что \( a = b = c \):

\( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{2a \cdot 2a \cdot 2a}{a \cdot a \cdot a} = 8. \)

Ответ для первого случая: \( 8 \).

Второй случай:

Дано выражение:

\( \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+c-b}{b} = \frac{b+a-c}{c} \).

1. Отнимем 1 от каждой из дробей:

\( \frac{b+c-a}{a} — 1 = \frac{a+c-b}{b} — 1 = \frac{b+a-c}{c} — 1 \).

2. Получим следующее выражение:

\( \frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c} \).

3. Теперь решим систему уравнений для первых двух дробей \( \frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} \):

\( b(b+c) = a(a+c) \).

4. Раскроем скобки:

\( b^{2} + bc = a^{2} + ac \).

5. Переносим все члены в одну сторону и упрощаем:

\( b^{2} — a^{2} = ac — bc \).

6. Разделим это на множители:

\( (b-a)(b+a) = -c(b-a) \).

7. Если \( b \neq a \), можем разделить обе стороны на \( (b-a) \), получив:

\( -c = \frac{(b-a)(b+a)}{(b-a)} = b + a \).

8. Следовательно, \( c = -b — a \).

9. Теперь подставим это значение \( c = -b — a \) в выражение для \( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \):

\( \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{(a+b)(b-b-a)(-b-a+a)}{abc} = \)

\( = \frac{(a+b) \cdot (-a) \cdot (-b)}{abc} = \frac{ab(a+b)}{abc} = \frac{a+b}{c} = \frac{-c}{c} = -1. \)

Ответ для второго случая: \( -1 \).

Ответ: \( -1 \) или \( 8 \).