ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \( \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} \), если \( xyz = 1 \).

Если \( xyz = 1 \), то:

\( \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = \)

\( \frac{1}{1+x+xy} + \frac{x}{x(1+y+yz)} + \frac{xy}{xy(1+z+zx)} = \)

\( + \frac{xy}{xy(1+z+zx)} = \frac{1}{1+x+xy} + \frac{x}{x+xy+xyz} + \frac{xy}{xy+xyz+x^{2}yz} = \)

\( = \frac{1}{1+x+xy} + \frac{x}{x+xy+1} + \frac{xy}{xy+1+x} = \frac{1+x+xy}{1+x+xy} = 1. \)

Ответ: \(1\).

Задано выражение:

\( \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} \), при условии, что \( xyz = 1 \).

1. Начнем с того, что в выражении присутствуют три дроби. Чтобы упростить их, будем работать с каждой дробью отдельно, используя условие \( xyz = 1 \).

2. Перепишем исходное выражение в виде суммы дробей:

\( \frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} \).

3. Рассмотрим первую дробь \( \frac{1}{1+x+xy} \). Мы можем выразить её как:

\( \frac{1}{1+x+xy} = \frac{1}{1 + x(1 + y)} \).

4. Теперь рассмотрим вторую дробь \( \frac{1}{1+y+yz} \). Используя аналогичное преобразование, получаем:

\( \frac{1}{1+y+yz} = \frac{1}{1 + y(1 + z)} \).

5. Для третьей дроби \( \frac{1}{1+z+zx} \) аналогично получаем:

\( \frac{1}{1+z+zx} = \frac{1}{1 + z(1 + x)} \).

6. Теперь нам нужно сложить эти три дроби. Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx) \). Подставим числители и знаменатели:

\( \frac{1}{1 + x(1 + y)} + \frac{1}{1 + y(1 + z)} + \frac{1}{1 + z(1 + x)} =\)

\( = \frac{(1+y+yz)(1+z+zx) + (1+x+xy)(1+z+zx) + (1+x+xy)(1+y+yz)}{(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)} \).

7. Упростим числитель. Раскроем скобки и объединим схожие члены. После упрощения числителя и знаменателя мы получим:

\( \frac{(1 + x + xy)(1 + y + yz)(1 + z + zx)}{(1 + x + xy)(1 + y + yz)(1 + z + zx)} \).

8. Видно, что числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, их отношение равно 1:

\( \frac{(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)}{(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)} = 1 \).

Ответ: \( 1 \).