ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Верно ли утверждение, что при любом натуральном n значение выражения (5n + 7)² — (n — 1)² делится нацело на 48?

\( (5n + 7)^2 — (n — 1)^2 = \bigl(5n + 7 — (n — 1)\bigr)\bigl(5n + 7 + (n — 1)\bigr) = \)

\( = (5n + 7 — n + 1)(5n + 7 + n — 1) = (4n + 8)(6n + 6) = \)

\( = 4 \cdot 6(n + 2)(n + 1) = 24(n + 2)(n + 1). \)

Так как числа \( (n + 2) \) и \( (n + 1) \) являются последовательными, то одно из них точно четное.

Произведение четного числа и числа 24 делится нацело на 48.

Ответ: верно.

1. Для начала применим формулу разности квадратов:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = 5n + 7 \), а \( b = n — 1 \). Тогда:

\( (5n + 7)^2 — (n — 1)^2 = \bigl( (5n + 7) — (n — 1) \bigr) \bigl( (5n + 7) + (n — 1) \bigr) \).

2. Упростим каждую скобку:

\( (5n + 7) — (n — 1) = 5n + 7 — n + 1 = 4n + 8 \),

\( (5n + 7) + (n — 1) = 5n + 7 + n — 1 = 6n + 6 \).

Таким образом, мы получаем:

\( (5n + 7)^2 — (n — 1)^2 = (4n + 8)(6n + 6) \).

3. Теперь раскроем произведение:

\( (4n + 8)(6n + 6) = 4 \cdot 6 (n + 2)(n + 1) = 24(n + 2)(n + 1) \).

4. Нам нужно доказать, что выражение \( 24(n + 2)(n + 1) \) делится на 48 для любого натурального \( n \). Рассмотрим числа \( (n + 2) \) и \( (n + 1) \). Эти числа — последовательные, то есть одно из них обязательно четное. Следовательно, произведение \( (n + 2)(n + 1) \) всегда делится на 2.

5. Таким образом, произведение \( 24(n + 2)(n + 1) \) делится на \( 24 \cdot 2 = 48 \), так как одно из чисел \( (n + 2) \) и \( (n + 1) \) четное.

Ответ: выражение \( (5n + 7)^2 — (n — 1)^2 \) делится нацело на 48 при любом натуральном \( n \).