ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если xy + z = yz + x = zx + y, то (x — y)(y — z)(z — x) = 0.

Если \( xy + z = yz + x = zx + y \), то:

\( \begin{aligned}
&xy + z = yz + x \quad &xy + z = zx + y \quad &yz + x = zx + y \\
&xy — x = yz — z \quad &xy — y = zx — z \quad &yz — y = zx — x \\
&x(y — 1) = z(y — 1) \quad &y(x — 1) = z(x — 1) \quad &y(z — 1) = x(z — 1) \\
&x = z; \quad &y = z; \quad &y = x.
\end{aligned} \)

Так как \( x = y = z \), то:

\( (x — y)(y — z)(z — x) = 0. \)

Что и требовалось доказать.

1. Начнем с того, что из условий задачи у нас есть три равенства:

\( xy + z = yz + x = zx + y \).

2. Рассмотрим первое равенство: \( xy + z = yz + x \). Переносим все слагаемые, содержащие \( x \) и \( y \), на одну сторону:

\( xy — x = yz — z \),

\( x(y — 1) = z(y — 1) \).

3. Если \( y — 1 \neq 0 \), то можем разделить обе стороны на \( y — 1 \), получив:

\( x = z \).

4. Рассмотрим второе равенство: \( xy + z = zx + y \). Переносим все слагаемые, содержащие \( x \) и \( y \), на одну сторону:

\( xy — y = zx — z \),

\( y(x — 1) = z(x — 1) \).

5. Если \( x — 1 \neq 0 \), то разделим обе стороны на \( x — 1 \), получим:

\( y = z \).

6. Теперь рассмотрим третье равенство: \( yz + x = zx + y \). Переносим все слагаемые, содержащие \( x \) и \( y \), на одну сторону:

\( yz — y = zx — x \),

\( y(z — 1) = x(z — 1) \).

7. Если \( z — 1 \neq 0 \), то делим обе стороны на \( z — 1 \), получаем:

\( y = x \).

8. Мы пришли к трем возможным равенствам: \( x = z \), \( y = z \), и \( y = x \). Это означает, что все три числа \( x \), \( y \) и \( z \) равны между собой.

9. Следовательно, одно из произведений \( (x — y) \), \( (y — z) \) или \( (z — x) \) будет равно нулю. Это означает, что произведение \( (x — y)(y — z)(z — x) = 0 \).

Ответ: \( (x — y)(y — z)(z — x) = 0 \), что и требовалось доказать.