ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните сложение или вычитание дробей:

1) \( \frac{18}{b^2 + 3b} — \frac{6}{b} \)

2) \( \frac{2}{c + 1} — \frac{c — 1}{c^2 + c} \)

3) \( \frac{m + 1}{3m — 15} + \frac{1 — m}{2m — 10} \)

4) \( \frac{m — 2n}{6m + 6n} — \frac{m — 3n}{4m + 4n} \)

5) \( \frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} — \frac{a + 4}{2a + 4} \)

6) \( \frac{3x — 4y}{x^2 — 2xy} + \frac{x — 3y}{xy — 2y^2} \)

1) \( \frac{18}{b^2 + 3b} — \frac{6}{b} = \frac{18}{b(b + 3)} — \frac{6}{b} = \frac{18 — 6(b + 3)}{b(b + 3)} = \)
\( = \frac{18 — 6b — 18}{b(b + 3)} = \frac{-6b}{b(b + 3)} = -\frac{6}{b + 3}; \)

2) \( \frac{2}{c + 1} — \frac{c — 1}{c^2 + c} = \frac{2}{c + 1} — \frac{c — 1}{c(c + 1)} = \frac{2c — (c — 1)}{c(c + 1)} = \)
\( = \frac{2c — c + 1}{c(c + 1)} = \frac{c + 1}{c(c + 1)} = \frac{1}{c}; \)

3) \( \frac{m + 1}{3m — 15} + \frac{1 — m}{2m — 10} = \frac{m + 1}{3(m — 5)} + \frac{1 — m}{2(m — 5)} = \)
\( = \frac{2(m + 1) + 3(1 — m)}{6(m — 5)} = \frac{2m + 2 + 3 — 3m}{6(m — 5)} = \frac{5 — m}{6(m — 5)} = -\frac{1}{6}; \)

4) \( \frac{m — 2n}{6m + 6n} — \frac{m — 3n}{4m + 4n} = \frac{m — 2n}{6(m + n)} — \frac{m — 3n}{4(m + n)} = \)
\( = \frac{2(m — 2n) — 3(m — 3n)}{12(m + n)} = \frac{2m — 4n — 3m + 9n}{12(m + n)} = \frac{5n — m}{12(m + n)}; \)

5) \( \frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} — \frac{a + 4}{2a + 4} = \frac{a^2 + 2}{a(a + 2)} — \frac{a + 4}{2(a + 2)} = \)
\( = \frac{2(a^2 + 2) — a(a + 4)}{2a(a + 2)} = \frac{2a^2 + 4 — a^2 — 4a}{2a(a + 2)} = \)
\( = \frac{a^2 — 4a + 4}{2a(a + 2)} = \frac{(a — 2)^2}{2a(a + 2)}; \)

6) \( \frac{3x — 4y}{x^2 — 2xy} + \frac{x — 3y}{xy — 2y^2} = \frac{3x — 4y}{x(x — 2y)} + \frac{x — 3y}{y(x — 2y)} = \)
\( = \frac{y(3x — 4y) + x(x — 3y)}{xy(x — 2y)} = \frac{3xy — 4y^2 + x^2 — 3xy}{xy(x — 2y)} = \frac{x^2 — 4y^2}{xy(x — 2y)} = \)
\( = \frac{(x — 2y)(x + 2y)}{xy(x — 2y)} = \frac{x + 2y}{xy}. \)

1) \( \frac{18}{b^2 + 3b} — \frac{6}{b} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(b(b + 3)\), так как это произведение обоих знаменателей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{18}{b^2 + 3b} = \frac{18}{b(b + 3)} \) и \( \frac{6}{b} = \frac{6(b + 3)}{b(b + 3)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{18}{b(b + 3)} — \frac{6(b + 3)}{b(b + 3)} = \frac{18 — 6(b + 3)}{b(b + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 6(b + 3) = 6b + 18 \), и подставим это в числитель:

\( 18 — (6b + 18) = 18 — 6b — 18 = -6b. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{-6b}{b(b + 3)} = -\frac{6}{b + 3}. \)

2) \( \frac{2}{c + 1} — \frac{c — 1}{c^2 + c} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(c(c + 1)\), так как это произведение обоих знаменателей.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{2}{c + 1} = \frac{2c}{c(c + 1)} \) и \( \frac{c — 1}{c^2 + c} = \frac{c — 1}{c(c + 1)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{2c}{c(c + 1)} — \frac{c — 1}{c(c + 1)} = \frac{2c — (c — 1)}{c(c + 1)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2c — (c — 1) = 2c — c + 1 = c + 1. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{c + 1}{c(c + 1)} = \frac{1}{c}. \)

3) \( \frac{m + 1}{3m — 15} + \frac{1 — m}{2m — 10} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(6(m — 5)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(3(m — 5)\) и \(2(m — 5)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{m + 1}{3(m — 5)} = \frac{2(m + 1)}{6(m — 5)} \) и \( \frac{1 — m}{2(m — 5)} = \frac{3(1 — m)}{6(m — 5)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{2(m + 1)}{6(m — 5)} + \frac{3(1 — m)}{6(m — 5)} = \frac{2(m + 1) + 3(1 — m)}{6(m — 5)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2(m + 1) = 2m + 2 \), и \( 3(1 — m) = 3 — 3m \), и подставим это в числитель:

\( 2m + 2 + 3 — 3m = 5 — m. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{5 — m}{6(m — 5)} = -\frac{1}{6}. \)

4) \( \frac{m — 2n}{6m + 6n} — \frac{m — 3n}{4m + 4n} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(12(m + n)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(6(m + n)\) и \(4(m + n)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{m — 2n}{6(m + n)} = \frac{2(m — 2n)}{12(m + n)} \) и \( \frac{m — 3n}{4(m + n)} = \frac{3(m — 3n)}{12(m + n)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{2(m — 2n)}{12(m + n)} — \frac{3(m — 3n)}{12(m + n)} = \frac{2(m — 2n) — 3(m — 3n)}{12(m + n)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2(m — 2n) = 2m — 4n \), и \( 3(m — 3n) = 3m — 9n \), и подставим это в числитель:

\( 2m — 4n — (3m — 9n) = 2m — 4n — 3m + 9n = -m + 5n. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{-m + 5n}{12(m + n)}. \)

5) \( \frac{a^2 + 2}{a^2 + 2a} — \frac{a + 4}{2a + 4} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(2a(a + 2)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(a(a + 2)\) и \(2(a + 2)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a^2 + 2}{a(a + 2)} = \frac{2(a^2 + 2)}{2a(a + 2)} \) и \( \frac{a + 4}{2(a + 2)} = \frac{a(a + 4)}{2a(a + 2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{2(a^2 + 2)}{2a(a + 2)} — \frac{a(a + 4)}{2a(a + 2)} = \frac{2(a^2 + 2) — a(a + 4)}{2a(a + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2(a^2 + 2) = 2a^2 + 4 \), и \( a(a + 4) = a^2 + 4a \), и подставим это в числитель:

\( 2a^2 + 4 — (a^2 + 4a) = 2a^2 + 4 — a^2 — 4a = a^2 — 4a + 4. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{a^2 — 4a + 4}{2a(a + 2)} = \frac{(a — 2)^2}{2a(a + 2)}. \)

6) \( \frac{3x — 4y}{x^2 — 2xy} + \frac{x — 3y}{xy — 2y^2} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(xy(x — 2y)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(x(x — 2y)\) и \(y(x — 2y)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{3x — 4y}{x(x — 2y)} = \frac{y(3x — 4y)}{xy(x — 2y)} \) и \( \frac{x — 3y}{y(x — 2y)} = \frac{x(x — 3y)}{xy(x — 2y)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{y(3x — 4y) + x(x — 3y)}{xy(x — 2y)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( y(3x — 4y) = 3xy — 4y^2 \), и \( x(x — 3y) = x^2 — 3xy \), и подставим это в числитель:

\( 3xy — 4y^2 + x^2 — 3xy = x^2 — 4y^2. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{x^2 — 4y^2}{xy(x — 2y)} = \frac{(x — 2y)(x + 2y)}{xy(x — 2y)} = \frac{x + 2y}{xy}. \)