ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{2}{m} — \frac{16}{m^2 + 8m} \)

2) \( \frac{a — 2}{2a — 6} — \frac{a — 1}{3a — 9} \)

3) \( \frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b} \)

4) \( \frac{b + 4}{ab — b^2} — \frac{a + 4}{a^2 — ab} \)

1) \( \frac{2}{m} — \frac{16}{m^2 + 8m} = \frac{2}{m} — \frac{16}{m(m + 8)} = \frac{2(m + 8) — 16}{m(m + 8)} = \)
\( = \frac{2m + 16 — 16}{m(m + 8)} = \frac{2m}{m(m + 8)} = \frac{2}{m + 8}; \)

2) \( \frac{a — 2}{2a — 6} — \frac{a — 1}{3a — 9} = \frac{a — 2}{2(a — 3)} — \frac{a — 1}{3(a — 3)} = \)
\( = \frac{3(a — 2) — 2(a — 1)}{6(a — 3)} = \frac{3a — 6 — 2a + 2}{6(a — 3)} = \frac{a — 4}{6(a — 3)}; \)

3) \( \frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)} = \)
\( = \frac{(a + b)^2}{2a(a + b)} = \frac{a + b}{2a}; \)

4) \( \frac{b + 4}{ab — b^2} — \frac{a + 4}{a^2 — ab} = \frac{b + 4}{b(a — b)} — \frac{a + 4}{a(a — b)} = \frac{a(b + 4) — b(a + 4)}{ab(a — b)} = \)
\( = \frac{ab + 4a — ab — 4b}{ab(a — b)} = \frac{4a — 4b}{ab(a — b)} = \frac{4(a — b)}{ab(a — b)} = \frac{4}{ab}. \)

1) \( \frac{2}{m} — \frac{16}{m^2 + 8m} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(m(m + 8)\), так как это произведение знаменателей \(m\) и \(m + 8\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{2}{m} = \frac{2(m + 8)}{m(m + 8)} \) и \( \frac{16}{m^2 + 8m} = \frac{16}{m(m + 8)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{2(m + 8)}{m(m + 8)} — \frac{16}{m(m + 8)} = \frac{2(m + 8) — 16}{m(m + 8)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 2(m + 8) = 2m + 16 \), и подставим это в числитель:

\( 2m + 16 — 16 = 2m. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{2m}{m(m + 8)} = \frac{2}{m + 8}. \)

2) \( \frac{a — 2}{2a — 6} — \frac{a — 1}{3a — 9} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(6(a — 3)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(2(a — 3)\) и \(3(a — 3)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a — 2}{2(a — 3)} = \frac{3(a — 2)}{6(a — 3)} \) и \( \frac{a — 1}{3(a — 3)} = \frac{2(a — 1)}{6(a — 3)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{3(a — 2)}{6(a — 3)} — \frac{2(a — 1)}{6(a — 3)} = \frac{3(a — 2) — 2(a — 1)}{6(a — 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 3(a — 2) = 3a — 6 \), и \( 2(a — 1) = 2a — 2 \), и подставим это в числитель:

\( 3a — 6 — (2a — 2) = 3a — 6 — 2a + 2 = a — 4. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{a — 4}{6(a — 3)}. \)

3) \( \frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(2a(a + b)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(2a(a + b)\) и \(a + b\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} = \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} \) и \( \frac{b}{a + b} = \frac{2ab}{2a(a + b)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{2ab}{2a(a + b)} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)}. \)

Числитель можно упростить, так как это полный квадрат:

\( a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{(a + b)^2}{2a(a + b)} = \frac{a + b}{2a}. \)

4) \( \frac{b + 4}{ab — b^2} — \frac{a + 4}{a^2 — ab} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \(ab(a — b)\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \(b(a — b)\) и \(a(a — b)\).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{b + 4}{b(a — b)} = \frac{a(b + 4)}{ab(a — b)} \) и \( \frac{a + 4}{a(a — b)} = \frac{b(a + 4)}{ab(a — b)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{a(b + 4)}{ab(a — b)} — \frac{b(a + 4)}{ab(a — b)} = \frac{a(b + 4) — b(a + 4)}{ab(a — b)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( a(b + 4) = ab + 4a \), и \( b(a + 4) = ab + 4b \), и подставим это в числитель:

\( ab + 4a — (ab + 4b) = ab + 4a — ab — 4b = 4a — 4b. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{4a — 4b}{ab(a — b)} = \frac{4(a — b)}{ab(a — b)} = \frac{4}{ab}. \)