ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \( \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x^2 — 9} \)

2) \( \frac{6b}{9b^2 — 4} — \frac{1}{3b — 2} \)

3) \( \frac{3a + b}{a^2 — b^2} + \frac{1}{a + b} \)

4) \( \frac{b}{a + b} — \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab} \)

1) \( \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x^2 — 9} = \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{3(x — 3) + x + 4}{(x — 3)(x + 3)} = \)
\( = \frac{3x — 9 + x + 4}{x^2 — 9} = \frac{4x — 5}{x^2 — 9}; \)

2) \( \frac{6b}{9b^2 — 4} — \frac{1}{3b — 2} = \frac{6b}{(3b — 2)(3b + 2)} — \frac{1}{3b — 2} = \)
\( = \frac{6b — (3b + 2)}{(3b — 2)(3b + 2)} = \frac{6b — 3b — 2}{(3b — 2)(3b + 2)} = \frac{3b — 2}{(3b — 2)(3b + 2)} = \frac{1}{3b + 2}; \)

3) \( \frac{3a + b}{a^2 — b^2} + \frac{1}{a + b} = \frac{3a + b}{(a — b)(a + b)} + \frac{1}{a + b} = \frac{3a + b + (a — b)}{(a — b)(a + b)} = \)
\( = \frac{3a + b + a — b}{a^2 — b^2} = \frac{4a}{a^2 — b^2}; \)

4) \( \frac{b}{a + b} — \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab} = \frac{b}{a + b} — \frac{b^2}{(a + b)^2} = \frac{b(a + b) — b^2}{(a + b)^2} = \)
\( = \frac{ab + b^2 — b^2}{(a + b)^2} = \frac{ab}{(a + b)^2}. \)

1) \( \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x^2 — 9} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (x — 3)(x + 3) \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{3}{x + 3} = \frac{3(x — 3)}{(x — 3)(x + 3)} \) и \( \frac{x + 4}{x^2 — 9} = \frac{x + 4}{(x — 3)(x + 3)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{3(x — 3)}{(x — 3)(x + 3)} + \frac{x + 4}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{3(x — 3) + x + 4}{(x — 3)(x + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 3(x — 3) = 3x — 9 \), и подставим это в числитель:

\( 3x — 9 + x + 4 = 4x — 5. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{4x — 5}{x^2 — 9}. \)

2) \( \frac{6b}{9b^2 — 4} — \frac{1}{3b — 2} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (3b — 2)(3b + 2) \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{6b}{(3b — 2)(3b + 2)} \) и \( \frac{1}{3b — 2} = \frac{3b + 2}{(3b — 2)(3b + 2)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{6b}{(3b — 2)(3b + 2)} — \frac{3b + 2}{(3b — 2)(3b + 2)} = \frac{6b — (3b + 2)}{(3b — 2)(3b + 2)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 6b — (3b + 2) = 6b — 3b — 2 = 3b — 2. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{3b — 2}{(3b — 2)(3b + 2)} = \frac{1}{3b + 2}. \)

3) \( \frac{3a + b}{a^2 — b^2} + \frac{1}{a + b} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a — b)(a + b) \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{3a + b}{(a — b)(a + b)} \) и \( \frac{1}{a + b} = \frac{a — b}{(a — b)(a + b)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{3a + b}{(a — b)(a + b)} + \frac{a — b}{(a — b)(a + b)} = \frac{3a + b + (a — b)}{(a — b)(a + b)}. \)

Теперь упростим числитель:

\( 3a + b + a — b = 4a. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{4a}{a^2 — b^2}. \)

4) \( \frac{b}{a + b} — \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (a + b)^2 \), так как это наименьшее общее кратное знаменателей \( a + b \) и \( (a + b)^2 \).

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{b}{a + b} = \frac{b(a + b)}{(a + b)^2} \) и \( \frac{b^2}{(a + b)^2} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{b(a + b)}{(a + b)^2} — \frac{b^2}{(a + b)^2} = \frac{b(a + b) — b^2}{(a + b)^2}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( b(a + b) = ab + b^2 \), и подставим это в числитель:

\( ab + b^2 — b^2 = ab. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{ab}{(a + b)^2}. \)