ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 37.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{4x — y}{x^2 — y^2} + \frac{1}{x — y} \)

2) \( \frac{y^2}{y^2 — 81} — \frac{y}{y + 9} \)

3) \( \frac{10a}{25a^2 — 9} — \frac{1}{5a + 3} \)

4) \( \frac{n}{n — 7} — \frac{n^2}{n^2 — 14n + 49} \)

1) \( \frac{4x — y}{x^2 — y^2} + \frac{1}{x — y} = \frac{4x — y}{(x — y)(x + y)} + \frac{1}{x — y} = \frac{4x — y + (x + y)}{(x — y)(x + y)} = \)
\( = \frac{4x — y + x + y}{x^2 — y^2} = \frac{5x}{x^2 — y^2}; \)

2) \( \frac{y^2}{y^2 — 81} — \frac{y}{y + 9} = \frac{y^2}{(y — 9)(y + 9)} — \frac{y}{y + 9} = \frac{y^2 — y(y — 9)}{(y — 9)(y + 9)} = \)
\( = \frac{y^2 — y^2 + 9y}{y^2 — 81} = \frac{9y}{y^2 — 81}; \)

3) \( \frac{10a}{25a^2 — 9} — \frac{1}{5a + 3} = \frac{10a}{(5a — 3)(5a + 3)} — \frac{1}{5a + 3} = \)
\( = \frac{10a — (5a — 3)}{(5a — 3)(5a + 3)} = \frac{10a — 5a + 3}{(5a — 3)(5a + 3)} = \frac{5a + 3}{(5a — 3)(5a + 3)} = \frac{1}{5a — 3}; \)

4) \( \frac{n}{n — 7} — \frac{n^2}{n^2 — 14n + 49} = \frac{n}{n — 7} — \frac{n^2}{(n — 7)^2} = \frac{n(n — 7) — n^2}{(n — 7)^2} = \)
\( = \frac{n^2 — 7n — n^2}{(n — 7)^2} = \frac{-7n}{(n — 7)^2} = -\frac{7n}{(n — 7)^2}. \)

1) \( \frac{4x — y}{x^2 — y^2} + \frac{1}{x — y} \):

Для того чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (x — y)(x + y) \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{4x — y}{(x — y)(x + y)} \) и \( \frac{1}{x — y} = \frac{x + y}{(x — y)(x + y)} \).

Теперь можем сложить дроби:

\( \frac{4x — y}{(x — y)(x + y)} + \frac{x + y}{(x — y)(x + y)} = \frac{4x — y + (x + y)}{(x — y)(x + y)}. \)

Теперь упростим числитель:

\( 4x — y + x + y = 5x. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{5x}{x^2 — y^2}. \)

2) \( \frac{y^2}{y^2 — 81} — \frac{y}{y + 9} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (y — 9)(y + 9) \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{y^2}{(y — 9)(y + 9)} \) и \( \frac{y}{y + 9} = \frac{y(y — 9)}{(y — 9)(y + 9)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{y^2}{(y — 9)(y + 9)} — \frac{y(y — 9)}{(y — 9)(y + 9)} = \frac{y^2 — y(y — 9)}{(y — 9)(y + 9)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( y(y — 9) = y^2 — 9y \), и подставим это в числитель:

\( y^2 — (y^2 — 9y) = y^2 — y^2 + 9y = 9y. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{9y}{y^2 — 81}. \)

3) \( \frac{10a}{25a^2 — 9} — \frac{1}{5a + 3} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (5a — 3)(5a + 3) \), так как это разложение знаменателя первой дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{10a}{(5a — 3)(5a + 3)} \) и \( \frac{1}{5a + 3} = \frac{5a — 3}{(5a — 3)(5a + 3)} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{10a}{(5a — 3)(5a + 3)} — \frac{5a — 3}{(5a — 3)(5a + 3)} = \frac{10a — (5a — 3)}{(5a — 3)(5a + 3)}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 10a — (5a — 3) = 10a — 5a + 3 = 5a + 3. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{5a + 3}{(5a — 3)(5a + 3)} = \frac{1}{5a — 3}. \)

4) \( \frac{n}{n — 7} — \frac{n^2}{n^2 — 14n + 49} \):

Для того чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен \( (n — 7)^2 \), так как это разложение знаменателя второй дроби.

Теперь перепишем дроби с этим общим знаменателем:

\( \frac{n}{n — 7} = \frac{n(n — 7)}{(n — 7)^2} \) и \( \frac{n^2}{(n — 7)^2} \).

Теперь можем выполнить вычитание:

\( \frac{n(n — 7)}{(n — 7)^2} — \frac{n^2}{(n — 7)^2} = \frac{n(n — 7) — n^2}{(n — 7)^2}. \)

Раскроем скобки в числителе:

\( n(n — 7) = n^2 — 7n \), и подставим это в числитель:

\( n^2 — 7n — n^2 = -7n. \)

Теперь получаем итоговое выражение:

\( \frac{-7n}{(n — 7)^2} = -\frac{7n}{(n — 7)^2}. \)