ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните умножение и деление дробей:

1) \( \frac{4c — d}{c^2 + cd} \cdot \frac{2c^2 — 2d^2}{4c^2 — cd} \)

2) \( \frac{b^2 — 6b + 9}{b^2 — 3b + 9} \cdot \frac{b^3 + 27}{5b — 15} \)

3) \( \frac{a^3 — 16a}{3a^2 b} \cdot \frac{12ab^2}{4a + 16} \)

4) \( \frac{a^3 + b^3}{a^2 — b^2} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 — ab + b^2} \)

5) \( \frac{m + 2n}{2 — 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 — 2m} \)

6) \( \frac{a^3 + 8}{16 — a^4} : \frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} \)

7) \( \frac{x^2 — 12x + 36}{3x + 21} \cdot \frac{x^2 — 49}{4x — 24} \)

8) \( \frac{3a + 15b}{a^2 — 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 — 18ab + 81b^2} \)

1) \( \frac{4c — d}{c^2 + cd} \cdot \frac{2c^2 — 2d^2}{4c^2 — cd} = \frac{(4c — d) \cdot 2(c^2 — d^2)}{c(c + d) \cdot c(4c — d)} = \)

\( = \frac{2(c — d)(c + d)}{c^2(c + d)} = \frac{2(c — d)}{c^2}; \)

2) \( \frac{b^2 — 6b + 9}{b^2 — 3b + 9} \cdot \frac{b^3 + 27}{5b — 15} = \frac{(b — 3)^2 \cdot (b + 3)(b^2 — 3b + 9)}{(b^2 — 3b + 9) \cdot 5(b — 3)} = \)

\( = \frac{(b — 3)(b + 3)}{5} = \frac{b^2 — 9}{5}; \)

3) \( \frac{a^3 — 16a}{3a^2 b} \cdot \frac{12ab^2}{4a + 16} = \frac{a(a^2 — 16) \cdot 12ab^2}{3a^2 b \cdot 4(a + 4)} = \frac{b(a — 4)(a + 4)}{(a + 4)} = b(a — 4); \)

4) \( \frac{a^3 + b^3}{a^2 — b^2} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 — ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2) \cdot 7(a — b)}{(a — b)(a + b) \cdot (a^2 — ab + b^2)} = 7; \)

5) \( \frac{m + 2n}{2 — 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 — 2m} = \frac{m + 2n}{2 — 3m} : \frac{(m + 2n)^2}{m(3m — 2)} = \)

\( = \frac{(m + 2n) \cdot m(3m — 2)}{-(3m — 2) \cdot (m + 2n)^2} = \frac{m}{-(m + 2n)} = -\frac{m}{m + 2n}; \)

6) \( \frac{a^3 + 8}{16 — a^4} : \frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} = \frac{(a + 2)(a^2 — 2a + 4) \cdot (a^2 + 4)}{(4 — a^2)(4 + a^2) \cdot (a^2 — 2a + 4)} = \)

\( = \frac{a + 2}{4 — a^2} = \frac{a + 2}{(2 — a)(2 + a)} = \frac{1}{2 — a}; \)

7) \( \frac{x^2 — 12x + 36}{3x + 21} \cdot \frac{x^2 — 49}{4x — 24} = \frac{(x — 6)^2 \cdot (x — 7)(x + 7)}{3(x + 7) \cdot 4(x — 6)} = \)

\( = \frac{(x — 6)(x — 7)}{12}; \)

8) \( \frac{3a + 15b}{a^2 — 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 — 18ab + 81b^2} = \frac{3(a + 5b)}{(a — 9b)(a + 9b)} : \frac{4(a + 5b)}{(a — 9b)^2} = \)

\( = \frac{3(a + 5b) \cdot (a — 9b)^2}{(a — 9b)(a + 9b) \cdot 4(a + 5b)} = \frac{3(a — 9b)}{4(a + 9b)}. \)

1) \( \frac{4c — d}{c^2 + cd} \cdot \frac{2c^2 — 2d^2}{4c^2 — cd} \)

Первым шагом мы умножаем числители и знаменатели дробей:

\( = \frac{(4c — d) \cdot 2(c^2 — d^2)}{c(c + d) \cdot c(4c — d)} \)

Далее применяем разложение на множители в \( 2(c^2 — d^2) \), где \( c^2 — d^2 = (c — d)(c + d) \), получаем:

\( = \frac{2(c — d)(c + d)}{c^2(c + d)} \)

Теперь сокращаем \( (c + d) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{2(c — d)}{c^2} \)

Итог: \( \frac{2(c — d)}{c^2}; \)

2) \( \frac{b^2 — 6b + 9}{b^2 — 3b + 9} \cdot \frac{b^3 + 27}{5b — 15} \)

Первое выражение можно разложить как \( (b — 3)^2 \), и второе — как \( (b + 3)(b^2 — 3b + 9) \). Получаем:

\( = \frac{(b — 3)^2 \cdot (b + 3)(b^2 — 3b + 9)}{(b^2 — 3b + 9) \cdot 5(b — 3)} \)

Теперь сокращаем \( (b — 3) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{(b — 3)(b + 3)}{5} \)

И, наконец, упрощаем выражение:

\( = \frac{b^2 — 9}{5}; \)

3) \( \frac{a^3 — 16a}{3a^2 b} \cdot \frac{12ab^2}{4a + 16} \)

Первое выражение раскладываем как \( a(a^2 — 16) \), а второе — как \( 4(a + 4) \), получаем:

\( = \frac{a(a^2 — 16) \cdot 12ab^2}{3a^2 b \cdot 4(a + 4)} \)

Теперь сокращаем \( a^2 b \) и \( a^2 \), и \( (a + 4) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{b(a — 4)(a + 4)}{(a + 4)} \)

Сокращаем \( (a + 4) \) и получаем:

\( = b(a — 4); \)

4) \( \frac{a^3 + b^3}{a^2 — b^2} \cdot \frac{7a — 7b}{a^2 — ab + b^2} \)

Разлагаем \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \) и \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), получаем:

\( = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2) \cdot 7(a — b)}{(a — b)(a + b) \cdot (a^2 — ab + b^2)} \)

Сокращаем \( (a + b) \) и \( (a — b) \) в числителе и знаменателе:

\( = 7; \)

5) \( \frac{m + 2n}{2 — 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 — 2m} \)

Первое выражение можно переписать как \( (m + 2n) \), а второе — как \( (m + 2n)^2 \). Таким образом, получаем:

\( = \frac{m + 2n}{2 — 3m} : \frac{(m + 2n)^2}{m(3m — 2)} \)

Теперь умножаем на обратную величину второй дроби:

\( = \frac{(m + 2n) \cdot m(3m — 2)}{-(3m — 2) \cdot (m + 2n)^2} \)

Сокращаем \( (m + 2n) \) и получаем:

\( = \frac{m}{-(m + 2n)} = -\frac{m}{m + 2n}; \)

6) \( \frac{a^3 + 8}{16 — a^4} : \frac{a^2 — 2a + 4}{a^2 + 4} \)

Первое выражение разлагаем как \( (a + 2)(a^2 — 2a + 4) \), а второе — как \( (4 — a^2)(4 + a^2) \), получаем:

\( = \frac{(a + 2)(a^2 — 2a + 4) \cdot (a^2 + 4)}{(4 — a^2)(4 + a^2) \cdot (a^2 — 2a + 4)} \)

Сокращаем \( (a^2 — 2a + 4) \) и получаем:

\( = \frac{a + 2}{4 — a^2} = \frac{a + 2}{(2 — a)(2 + a)} = \frac{1}{2 — a}; \)

7) \( \frac{x^2 — 12x + 36}{3x + 21} \cdot \frac{x^2 — 49}{4x — 24} \)

Первое выражение можно разложить как \( (x — 6)^2 \), второе — как \( (x — 7)(x + 7) \), получаем:

\( = \frac{(x — 6)^2 \cdot (x — 7)(x + 7)}{3(x + 7) \cdot 4(x — 6)} \)

Сокращаем \( (x — 6) \) и \( (x + 7) \):

\( = \frac{(x — 6)(x — 7)}{12}; \)

8) \( \frac{3a + 15b}{a^2 — 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 — 18ab + 81b^2} \)

Первое выражение разлагаем как \( 3(a + 5b) \), а второе — как \( 4(a + 5b) \), получаем:

\( = \frac{3(a + 5b)}{(a — 9b)(a + 9b)} : \frac{4(a + 5b)}{(a — 9b)^2} \)

Теперь умножаем на обратную величину второй дроби:

\( = \frac{3(a + 5b) \cdot (a — 9b)^2}{(a — 9b)(a + 9b) \cdot 4(a + 5b)} \)

Сокращаем \( (a + 5b) \) и \( (a — 9b) \):

\( = \frac{3(a — 9b)}{4(a + 9b)}. \)