ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{a^4 — 1}{a^3 — a} \cdot \frac{a}{1 + a^2}  \)

2) \( \frac{a^2 — 8ab}{12b} : \frac{8b^2 — ab}{24a}  \)

3) \( \frac{5m^2 — 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n — 15m}{4m^2 + 4n^2} \)

4) \( \frac{mn^2 — 36m}{m^3 — 8} : \frac{2n + 12}{6m — 12}  \)

5) \( \frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} : \frac{a — 1}{a^3 + 1} \)

6) \( \frac{4x^2 — 100}{6x} : (2x^2 — 20x + 50)  \)

1) \( \frac{a^4 — 1}{a^3 — a} \cdot \frac{a}{1 + a^2} = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1) \cdot a}{a(a^2 — 1) \cdot (1 + a^2)} = 1; \)

2) \( \frac{a^2 — 8ab}{12b} : \frac{8b^2 — ab}{24a} = \frac{a(a — 8b) \cdot 24a}{12b \cdot b(8b — a)} = -\frac{2a^2}{b^2}; \)

3) \( \frac{5m^2 — 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n — 15m}{4m^2 + 4n^2} = \frac{5(m^2 — n^2) \cdot 4(m^2 + n^2)}{(m^2 + n^2) \cdot 15(n — m)} = \)

\( = \frac{(m — n)(m + n) \cdot 4}{3(n — m)} = -\frac{4(m + n)}{3}; \)

4) \( \frac{mn^2 — 36m}{m^3 — 8} : \frac{2n + 12}{6m — 12} = \frac{m(n^2 — 36) \cdot (6m — 12)}{(m^3 — 8) \cdot (2n + 12)} = \)

\( = \frac{m(n — 6)(n + 6) \cdot 6(m — 2)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4) \cdot 2(n + 6)} = \frac{3m(n — 6)}{m^2 + 2m + 4}; \)

5) \( \frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} : \frac{a — 1}{a^3 + 1} = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1) \cdot (a^3 + 1)}{(a^2 — a + 1) \cdot (a — 1)} = \)

\( = \frac{(a — 1)(a + 1)(a^2 + 1) \cdot (a + 1)(a^2 — a + 1)}{(a^2 — a + 1) \cdot (a — 1)} = (a + 1)^2(a^2 + 1); \)

6) \( \frac{4x^2 — 100}{6x} : (2x^2 — 20x + 50) = \frac{4(x^2 — 25)}{6x} \cdot \frac{1}{2(x^2 — 10x + 25)} = \)

\( = \frac{4(x — 5)(x + 5)}{6x \cdot 2(x — 5)^2} = \frac{x + 5}{3x(x — 5)}. \)

1) \( \frac{a^4 — 1}{a^3 — a} \cdot \frac{a}{1 + a^2} = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1) \cdot a}{a(a^2 — 1) \cdot (1 + a^2)} = 1; \)

Первым шагом разлагаем числитель и знаменатель:

\( a^4 — 1 = (a^2 — 1)(a^2 + 1) \), что является разложением разности квадратов, и \( a^3 — a = a(a^2 — 1) \),

Подставляем это в исходное выражение:

\( = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1) \cdot a}{a(a^2 — 1) \cdot (1 + a^2)} \)

Теперь сокращаем одинаковые множители \( (a^2 — 1) \) и \( a \) в числителе и знаменателе:

\( = 1; \)

2) \( \frac{a^2 — 8ab}{12b} : \frac{8b^2 — ab}{24a} = \frac{a(a — 8b) \cdot 24a}{12b \cdot b(8b — a)} = -\frac{2a^2}{b^2}; \)

Для начала разлагаем числитель и знаменатель:

\( a^2 — 8ab = a(a — 8b) \), и \( 8b^2 — ab = b(8b — a) \),

Подставляем эти выражения в дроби:

\( = \frac{a(a — 8b) \cdot 24a}{12b \cdot b(8b — a)} \)

Теперь умножаем числители и знаменатели:

\( = \frac{24a^2(a — 8b)}{12b^2(8b — a)} \)

Упрощаем числитель и знаменатель, сокращая на 12:

\( = \frac{2a^2(a — 8b)}{b^2(8b — a)} \)

Теперь замечаем, что \( (a — 8b) = -(8b — a) \), и получаем:

\( = -\frac{2a^2}{b^2}; \)

3) \( \frac{5m^2 — 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n — 15m}{4m^2 + 4n^2} = \frac{5(m^2 — n^2) \cdot 4(m^2 + n^2)}{(m^2 + n^2) \cdot 15(n — m)} = \)

\( = \frac{(m — n)(m + n) \cdot 4}{3(n — m)} = -\frac{4(m + n)}{3}; \)

В первом выражении разлагаем числитель \( 5m^2 — 5n^2 = 5(m^2 — n^2) \), и во втором \( 15n — 15m = 15(n — m) \),

Подставляем эти выражения в дроби:

\( = \frac{5(m^2 — n^2) \cdot 4(m^2 + n^2)}{(m^2 + n^2) \cdot 15(n — m)} \)

Теперь разлагаем \( m^2 — n^2 = (m — n)(m + n) \), и \( 15(n — m) = -15(m — n) \), получаем:

\( = \frac{5(m — n)(m + n) \cdot 4(m^2 + n^2)}{(m^2 + n^2) \cdot (-15)(m — n)} \)

Сокращаем \( (m — n) \) и \( (m^2 + n^2) \), получаем:

\( = \frac{4(m + n)}{-3} = -\frac{4(m + n)}{3}; \)

4) \( \frac{mn^2 — 36m}{m^3 — 8} : \frac{2n + 12}{6m — 12} = \frac{m(n^2 — 36) \cdot (6m — 12)}{(m^3 — 8) \cdot (2n + 12)} = \)

\( = \frac{m(n — 6)(n + 6) \cdot 6(m — 2)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4) \cdot 2(n + 6)} = \frac{3m(n — 6)}{m^2 + 2m + 4}; \)

Для начала разлагаем выражения:

\( mn^2 — 36m = m(n — 6)(n + 6) \), и \( m^3 — 8 = (m — 2)(m^2 + 2m + 4) \), а также \( 6m — 12 = 6(m — 2) \)

Теперь подставляем эти разложения в дроби:

\( = \frac{m(n — 6)(n + 6) \cdot 6(m — 2)}{(m — 2)(m^2 + 2m + 4) \cdot 2(n + 6)} \)

Сокращаем \( (m — 2) \) и получаем:

\( = \frac{3m(n — 6)}{m^2 + 2m + 4}; \)

5) \( \frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} : \frac{a — 1}{a^3 + 1} = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1) \cdot (a^3 + 1)}{(a^2 — a + 1) \cdot (a — 1)} = \)

\( = \frac{(a — 1)(a + 1)(a^2 + 1) \cdot (a + 1)(a^2 — a + 1)}{(a^2 — a + 1) \cdot (a — 1)} = (a + 1)^2(a^2 + 1); \)

Разлагаем \( a^4 — 1 = (a — 1)(a + 1) \), а \( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1) \),

Подставляем это в выражение:

\( = \frac{(a — 1)(a + 1)(a^2 + 1) \cdot (a + 1)(a^2 — a + 1)}{(a^2 — a + 1) \cdot (a — 1)} \)

Сокращаем одинаковые множители \( (a — 1) \) и \( (a^2 — a + 1) \), получаем:

\( = (a + 1)^2(a^2 + 1); \)

6) \( \frac{4x^2 — 100}{6x} : (2x^2 — 20x + 50) = \frac{4(x^2 — 25)}{6x} \cdot \frac{1}{2(x^2 — 10x + 25)} = \)

\( = \frac{4(x — 5)(x + 5)}{6x \cdot 2(x — 5)^2} = \frac{x + 5}{3x(x — 5)}. \)

Для начала разлагаем \( x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5) \), и \( x^2 — 10x + 25 = (x — 5)^2 \),

Теперь подставляем эти разложения в выражение:

\( = \frac{4(x — 5)(x + 5)}{6x \cdot 2(x — 5)^2} \)

Сокращаем \( (x — 5) \) и получаем:

\( = \frac{x + 5}{3x(x — 5)}. \)