ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \frac{1}{a^2 — ab} : \frac{b}{b^2 — a^2}, \) если \( a = 2\frac{1}{3}, b = -\frac{3}{7}; \)

2) \( \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 — 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a — 6b}, \) если \( a = 4, b = -5. \)

1) Если \( a = 2\frac{1}{3} \), \( b = -\frac{3}{7} \);

\( \frac{1}{a^2 — ab} : \frac{b}{b^2 — a^2} = \frac{(b^2 — a^2)}{a(a — b) \cdot b} = \frac{(b — a)(b + a)}{ab(a — b)} = -\frac{b + a}{ab} = \)

\( = -\frac{-\frac{3}{7} + 2\frac{1}{3}}{2\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)} = -\frac{\frac{2}{7} — \frac{9}{21}}{\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)} = -\frac{\frac{1}{21} — \frac{9}{21}}{-1} = 1\frac{19}{21}. \)

Ответ: \( 1\frac{19}{21} \).

2) Если \( a = 4 \), \( b = -5 \);

\( \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 — 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a — 6b} = \frac{(a + 2b)^2 \cdot (2a — 6b)}{(a — 3b)(a + 3b) \cdot (3a + 6b)} = \)

\( = \frac{(a + 2b)^2 \cdot 2(a — 3b)}{(a — 3b)(a + 3b) \cdot 3(a + 2b)} = \frac{2(a + 2b)}{3(a + 3b)} = \frac{2 \cdot (4 + 2 \cdot (-5))}{3 \cdot (4 + 3 \cdot (-5))} = \)

\( = \frac{2 \cdot (4 — 10)}{3 \cdot (4 — 15)} = \frac{2 \cdot (-6)}{3 \cdot (-11)} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}. \)

Ответ: \( \frac{4}{11} \).

1) \( \frac{1}{a^2 — ab} : \frac{b}{b^2 — a^2}, \) если \( a = 2\frac{1}{3}, b = -\frac{3}{7}; \)

Первое, перепишем выражение с учетом деления дробей:

\( \frac{1}{a^2 — ab} : \frac{b}{b^2 — a^2} = \frac{1}{a^2 — ab} \cdot \frac{b^2 — a^2}{b} \)

Теперь разлагаем разность квадратов в \( b^2 — a^2 \) на множители:

\( = \frac{1}{a^2 — ab} \cdot \frac{(b — a)(b + a)}{b} \)

Далее, раскрываем \( a^2 — ab \) в числителе:

\( = \frac{(b — a)(b + a)}{b \cdot (a(a — b))} \)

Теперь сокращаем \( (a — b) \) в числителе и знаменателе:

\( = -\frac{b + a}{ab} \)

Теперь подставляем значения \( a = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \) и \( b = -\frac{3}{7} \):

\( = -\frac{-\frac{3}{7} + \frac{7}{3}}{\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)} \)

Приводим к общему знаменателю в числителе:

\( = -\frac{\frac{2}{7} — \frac{9}{21}}{\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right)} \)

Теперь сокращаем и вычисляем:

\( = -\frac{\frac{1}{21} — \frac{9}{21}}{-1} = 1\frac{19}{21}. \)

Ответ: \( 1\frac{19}{21} \).

2) \( \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 — 9b^2} : \frac{3a + 6b}{2a — 6b}, \) если \( a = 4, b = -5; \)

Начнем с упрощения выражений:

Первое выражение: \( a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2 \), и \( a^2 — 9b^2 = (a — 3b)(a + 3b) \).

Второе выражение: \( 3a + 6b = 3(a + 2b) \), и \( 2a — 6b = 2(a — 3b) \).

Теперь подставляем все эти разложения в исходное выражение:

\( = \frac{(a + 2b)^2 \cdot 2(a — 3b)}{(a — 3b)(a + 3b) \cdot 3(a + 2b)} \)

Теперь сокращаем одинаковые множители \( (a + 2b) \) и \( (a — 3b) \):

\( = \frac{2(a + 2b)}{3(a + 3b)} \)

Теперь подставляем значения \( a = 4 \) и \( b = -5 \):

\( = \frac{2 \cdot (4 + 2 \cdot (-5))}{3 \cdot (4 + 3 \cdot (-5))} = \frac{2 \cdot (4 — 10)}{3 \cdot (4 — 15)} \)

Вычисляем числитель и знаменатель:

\( = \frac{2 \cdot (-6)}{3 \cdot (-11)} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}. \)

Ответ: \( \frac{4}{11} \).