ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение (n — натуральное число):

1) \( \frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}} : \frac{a^{n+3}b^{3n+1}}{c^{n+8}}  \)

2) \( \frac{(a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n}{a^{3n} + b^{3n}} : \frac{a^{2n} — b^{2n}}{(a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n}  \)

1) \( \frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}} : \frac{a^{n+3}b^{3n+1}}{c^{n+8}} = \frac{a^n \cdot a^4 \cdot b^{3n} \cdot b^2}{c^n \cdot c^5} \cdot \frac{c^{n+8}}{a^{n+3}b^{3n+1}} = \)

\( = \frac{a^n \cdot a^4 \cdot b^{3n} \cdot b^2 \cdot c^n \cdot c^8}{c^n \cdot c^5 \cdot a^n \cdot a^3 \cdot b^{3n} \cdot b} = abc^3; \)

2) \( \frac{(a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n}{a^{3n} + b^{3n}} : \frac{a^{2n} — b^{2n}}{(a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n} = \frac{(a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n}{a^{3n} + b^{3n}} \cdot \frac{(a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n}{a^{2n} — b^{2n}} = \)

\( = \frac{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n} — 4a^n b^n}{a^{2n} — b^{2n}} = \frac{a^{2n} — 2a^n b^n + b^{2n}}{(a^n + b^n)(a^{2n} — a^n b^n + b^{2n})}. \)

\( \cdot \frac{a^{2n} — 2a^n b^n + b^{2n} + 4a^n b^n}{(a^n — b^n)(a^n + b^n)} = \frac{a^{2n} — 2a^n b^n + b^{2n}}{(a^n + b^n)(a^{2n} — a^n b^n + b^{2n})} \cdot \frac{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}}{(a^n — b^n)(a^n + b^n)} = \)

\( = \frac{(a^n — b^n)^2 \cdot (a^n + b^n)^2}{(a^n + b^n)(a^{2n} — a^n b^n + b^{2n})(a^n — b^n)(a^n + b^n)} = \)

\( = \frac{a^n — b^n}{a^{2n} — a^n b^n + b^{2n}}. \)

1) \( \frac{a^{n+4}b^{3n+2}}{c^{n+5}} : \frac{a^{n+3}b^{3n+1}}{c^{n+8}}  \)

Шаг 1: Раскрытие числителей и знаменателей.

Числитель: \( a^{n+4}b^{3n+2} = a^n \cdot a^4 \cdot b^{3n} \cdot b^2 \), знаменатель: \( c^{n+5} = c^n \cdot c^5 \).

Шаг 2: Переписывание выражения:

\( \frac{a^n \cdot a^4 \cdot b^{3n} \cdot b^2}{c^n \cdot c^5} \cdot \frac{c^{n+8}}{a^{n+3}b^{3n+1}} \)

Шаг 3: Размещение произведений в числителе и знаменателе, раскладывая множители по правилам:

\( = \frac{a^n \cdot a^4 \cdot b^{3n} \cdot b^2 \cdot c^n \cdot c^8}{c^n \cdot c^5 \cdot a^n \cdot a^3 \cdot b^{3n} \cdot b} \)

Шаг 4: Сокращение одинаковых множителей \( a^n \), \( b^{3n} \), \( c^n \):

\( = \frac{a^4 \cdot b^2 \cdot c^8}{c^5 \cdot a^3 \cdot b} \)

Шаг 5: Сокращаем на \( a^3 \) и \( b \):

\( = abc^3 \)

Ответ: \( abc^3 \).

2) \( \frac{(a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n}{a^{3n} + b^{3n}} : \frac{a^{2n} — b^{2n}}{(a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n}  \)

Шаг 1: Разложение \( (a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n = (a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n \), так что числитель становится:

\( (a^n + b^n)^2 — 4a^n b^n = (a^n — b^n)(a^n + b^n) \)

Шаг 2: Составляем выражение:

\( \frac{(a^n — b^n)(a^n + b^n)}{a^{3n} + b^{3n}} \cdot \frac{(a^n — b^n)^2 + 4a^n b^n}{a^{2n} — b^{2n}} \)

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители и получаем результат:

\( = \frac{a^n — b^n}{a^{2n} — a^n b^n + b^{2n}}. \)