ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение (n — натуральное число):

1) \( \frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}} \cdot \frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}} \)

2) \( \frac{(x^n — 2y^n)^2 + 8x^n y^n}{x^{3n} — 8y^{3n}} : \frac{x^{2n} — 4y^{2n}}{(x^n + 2y^n)^2 — 8x^n y^n}\)

1) \( \frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}} \cdot \frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}} = \frac{x^n \cdot x^3 \cdot y^{4n} \cdot y^{-1} \cdot z^{2n} \cdot z^5}{z^n \cdot z^4 \cdot x^n \cdot x \cdot y^{3n} \cdot y^{-2}} = \)

\( = \frac{x^2 \cdot \frac{y^{4n}}{y} \cdot z^n \cdot z}{y^{3n}} = \frac{x^2 \cdot z^n \cdot z \cdot y^{4n} \cdot y^2}{y \cdot y^{3n}} = \frac{x^2 \cdot z^{n+1} \cdot y^n \cdot y}{1} = \)

\( = x^2 y^{n+1} z^{n+1}; \)

2) \( \frac{(x^n — 2y^n)^2 + 8x^n y^n}{x^{3n} — 8y^{3n}} : \frac{x^{2n} — 4y^{2n}}{(x^n + 2y^n)^2 — 8x^n y^n} = \)

\( = \frac{x^{2n} — 4x^n y^n + 4y^{2n} + 8x^n y^n}{x^{3n} — 8y^{3n}} \cdot \frac{x^{2n} + 4x^n y^n + 4y^{2n} — 8x^n y^n}{x^{2n} — 4y^{2n}} = \)

\( = \frac{x^{2n} + 4x^n y^n + 4y^{2n}}{x^{3n} — 8y^{3n}} \cdot \frac{x^{2n} — 4x^n y^n + 4y^{2n}}{x^{2n} — 4y^{2n}} = \)

\( = \frac{(x^n + 2y^n)^2 \cdot (x^n — 2y^n)^2}{(x^n — 2y^n)(x^{2n} + 2x^n y^n + 4y^{2n}) \cdot (x^n — 2y^n)(x^n + 2y^n)} = \)

\( = \frac{x^n + 2y^n}{x^{2n} + 2x^n y^n + 4y^{2n}}. \)

1) \( \frac{x^{n+3}y^{4n-1}}{z^{n+4}} \cdot \frac{z^{2n+5}}{x^{n+1}y^{3n-2}} \)

Шаг 1: Переписываем выражение с учетом свойств степеней:

\( = \frac{x^n \cdot x^3 \cdot y^{4n} \cdot y^{-1} \cdot z^{2n} \cdot z^5}{z^n \cdot z^4 \cdot x^n \cdot x \cdot y^{3n} \cdot y^{-2}} \)

Шаг 2: Раскладываем числитель и знаменатель:

Числитель: \( x^n \cdot x^3 = x^{n+3}, y^{4n} \cdot y^{-1} = y^{4n-1}, z^{2n} \cdot z^5 = z^{2n+5} \)

Знаменатель: \( z^n \cdot z^4 = z^{n+4}, x^n \cdot x = x^{n+1}, y^{3n} \cdot y^{-2} = y^{3n-2} \)

Шаг 3: Получаем:

\( = \frac{x^{n+3} \cdot y^{4n-1} \cdot z^{2n+5}}{z^{n+4} \cdot x^{n+1} \cdot y^{3n-2}} \)

Шаг 4: Раскладываем на множители и упрощаем, сокращая одинаковые множители \( x^n \), \( y^{3n} \), \( z^{n} \):

\( = \frac{x^2 \cdot \frac{y^{4n}}{y} \cdot z^n \cdot z}{y^{3n}} = \frac{x^2 \cdot z^n \cdot z \cdot y^{4n} \cdot y^2}{y \cdot y^{3n}} \)

Шаг 5: Получаем окончательное выражение:

\( = \frac{x^2 \cdot z^{n+1} \cdot y^n \cdot y}{1} = x^2 y^{n+1} z^{n+1} \)

Ответ: \( x^2 y^{n+1} z^{n+1} \).

2) \( \frac{(x^n — 2y^n)^2 + 8x^n y^n}{x^{3n} — 8y^{3n}} : \frac{x^{2n} — 4y^{2n}}{(x^n + 2y^n)^2 — 8x^n y^n}\)

Шаг 1: Разлагаем числитель \( (x^n — 2y^n)^2 + 8x^n y^n \) и знаменатель \( (x^n + 2y^n)^2 — 8x^n y^n \) на множители:

\( = \frac{(x^n — 2y^n)(x^n + 2y^n)}{x^{3n} — 8y^{3n}} \cdot \frac{(x^n — 2y^n)^2 + 4a^n b^n}{x^{2n} — 4y^{2n}} \)

Шаг 2: Упрощаем выражения:

\( = \frac{x^{2n} — 4x^n y^n + 4y^{2n} + 8x^n y^n}{x^{3n} — 8y^{3n}} \cdot \frac{x^{2n} + 4x^n y^n + 4y^{2n} — 8x^n y^n}{x^{2n} — 4y^{2n}} = \)

Шаг 3: Сокращаем общие множители:

\( = \frac{x^{2n} + 4x^n y^n + 4y^{2n}}{x^{3n} — 8y^{3n}} \cdot \frac{x^{2n} — 4x^n y^n + 4y^{2n}}{x^{2n} — 4y^{2n}} = \)

Шаг 4: Раскладываем на множители:

\( = \frac{(x^n + 2y^n)^2 \cdot (x^n — 2y^n)^2}{(x^n — 2y^n)(x^{2n} + 2x^n y^n + 4y^{2n}) \cdot (x^n — 2y^n)(x^n + 2y^n)} = \)

Шаг 5: Сокращаем множители:

\( = \frac{x^n + 2y^n}{x^{2n} + 2x^n y^n + 4y^{2n}}. \)

Ответ: \( \frac{x^n + 2y^n}{x^{2n} + 2x^n y^n + 4y^{2n}}. \)