ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дано: \( x^2 + \frac{16}{x^2} = 41 \). Найдите значение выражения \( x + \frac{4}{x} \).

Дано: \( x^2 + \frac{16}{x^2} = 41 \).

Тогда:

\( x^2 + \frac{16}{x^2} = 41 \)

\( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + \frac{16}{x^2} — 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} = 41 \)

\( x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} — 8 = 41 \)

\( x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} = 41 + 8 \)

\( \left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 49 \)

\( x + \frac{4}{x} = -7 \quad \text{или} \quad x + \frac{4}{x} = 7 \).

Ответ: \(-7\) или \(7\).

Дано: \( x^2 + \frac{16}{x^2} = 41 \). Необходимо найти значение выражения \( x + \frac{4}{x} \).

Шаг 1. Обозначим \( y = x + \frac{4}{x} \). Мы постараемся выразить \( y^2 \) через известное нам выражение \( x^2 + \frac{16}{x^2} \).

Шаг 2. Возведем \( y = x + \frac{4}{x} \) в квадрат:

\( y^2 = \left( x + \frac{4}{x} \right)^2 \)

Шаг 3. Раскроем скобки с использованием формулы квадрата суммы:

\( y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + \left( \frac{4}{x} \right)^2 \)

Шаг 4. Упростим выражение:

\( y^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} \)

Шаг 5. Подставим известное значение \( x^2 + \frac{16}{x^2} = 41 \) в уравнение для \( y^2 \):

\( y^2 = 41 + 8 \)

Шаг 6. Выполним вычисления:

\( y^2 = 49 \)

Шаг 7. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( y = \pm \sqrt{49} \)

Шаг 8. Получаем два возможных значения для \( y \):

\( y = 7 \) или \( y = -7 \).

Шаг 9. Так как выражение \( y = x + \frac{4}{x} \), то найденные значения \( y \) и будут значениями данного выражения. Таким образом, ответ:

\( x + \frac{4}{x} = 7 \) или \( x + \frac{4}{x} = -7 \).

Ответ: \(-7\) или \(7\).