ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дано: \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \). Найдите значение выражения \( x — \frac{1}{x} \).

Дано: \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \).

Тогда:

\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \)

\( x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 2x \cdot \frac{1}{x} = 6 \)

\( x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 6 \)

\( x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} = 6 — 2 \)

\( \left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = 4 \)

\( x — \frac{1}{x} = -2 \quad \text{или} \quad x — \frac{1}{x} = 2 \).

Ответ: \(-2\) или \(2\).

Дано: \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \). Необходимо найти значение выражения \( x — \frac{1}{x} \).

Шаг 1. Обозначим \( y = x — \frac{1}{x} \). Мы постараемся выразить \( y^2 \) через известное нам выражение \( x^2 + \frac{1}{x^2} \).

Шаг 2. Возведем \( y = x — \frac{1}{x} \) в квадрат:

\( y^2 = \left( x — \frac{1}{x} \right)^2 \)

Шаг 3. Раскроем скобки с использованием формулы квадрата разности:

\( y^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left( \frac{1}{x} \right)^2 \)

Шаг 4. Упростим выражение:

\( y^2 = x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} \)

Шаг 5. Подставим известное значение \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 \) в уравнение для \( y^2 \):

\( y^2 = 6 — 2 \)

Шаг 6. Выполним вычисления:

\( y^2 = 4 \)

Шаг 7. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( y = \pm \sqrt{4} \)

Шаг 8. Получаем два возможных значения для \( y \):

\( y = 2 \) или \( y = -2 \).

Шаг 9. Так как выражение \( y = x — \frac{1}{x} \), то найденные значения \( y \) и будут значениями данного выражения. Таким образом, ответ:

\( x — \frac{1}{x} = 2 \) или \( x — \frac{1}{x} = -2 \).

Ответ: \(-2\) или \(2\).