ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{a^2 — 36}{a^2 + ab — 6a — 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2} \)

2) \( \frac{a^2 + a — ab — b}{a^2 + ab + ab + b} : \frac{a^2 — a — ab + b}{a^2 — a + ab — b} \)

1) \( \frac{a^2 — 36}{a^2 + ab — 6a — 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2} = \)

\( = \frac{(a — 6)(a + 6)}{a(a + b) — 6(a + b)} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a(a + b) + 6(a + b)} = \)

\( = \frac{(a — 6)(a + 6) \cdot (a + b)^2}{(a + b)(a — 6) \cdot (a + b)(a + 6)} = 1; \)

2) \( \frac{a^2 + a — ab — b}{a^2 + ab + ab + b} : \frac{a^2 — a — ab + b}{a^2 — a + ab — b} = \)

\( \frac{a(a + 1) — b(a + 1)}{a(a + 1) + b(a + 1)} : \)

\( \frac{a(a — 1) — b(a — 1)}{a(a — 1) + b(a — 1)} = \)

\( = \frac{a(a — 1) — b(a — 1)}{a(a — 1) + b(a — 1)} \cdot \frac{(a + 1)(a + b)}{(a — 1)(a — b)} = \)

\( = \frac{a — b}{a + b} : \frac{a — b}{a + b} = 1. \)

1) \( \frac{a^2 — 36}{a^2 + ab — 6a — 6b} : \frac{a^2 + ab + 6a + 6b}{a^2 + 2ab + b^2}  \)

Шаг 1. Разложим числители и знаменатели на множители.

Числитель первого выражения: \( a^2 — 36 \) — это разность квадратов, которую можно разложить как:

\( a^2 — 36 = (a — 6)(a + 6) \)

Теперь разложим знаменатель первого выражения: \( a^2 + ab — 6a — 6b \). Видим, что можно выделить общий множитель \( (a + b) \):

\( a^2 + ab — 6a — 6b = a(a + b) — 6(a + b) = (a — 6)(a + b) \)

Числитель второго выражения: \( a^2 + ab + 6a + 6b \) можно также выделить общий множитель \( (a + b) \):

\( a^2 + ab + 6a + 6b = a(a + b) + 6(a + b) = (a + 6)(a + b) \)

Знаменатель второго выражения: \( a^2 + 2ab + b^2 \) — это полный квадрат бинома, который разлагается как:

\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)

Шаг 2. Подставим разложенные выражения в исходное:

\( \frac{(a — 6)(a + 6)}{(a — 6)(a + b)} \cdot \frac{(a + b)^2}{(a + b)(a + 6)} = \)

Шаг 3. Упростим выражение, сократив общие множители.

В первой дроби сокращаем \( (a — 6) \) в числителе и знаменателе, а во второй дроби сокращаем \( (a + b) \) в числителе и знаменателе.

Получаем:

\( = \frac{(a + 6)}{(a + b)} \cdot \frac{(a + b)}{(a + 6)} \)

Шаг 4. После сокращения оставшихся множителей получаем:

\( = 1; \)

2) \( \frac{a^2 + a — ab — b}{a^2 + ab + ab + b} : \frac{a^2 — a — ab + b}{a^2 — a + ab — b}  \)

Шаг 1. Перепишем числители и знаменатели, выделив общие множители.

Числитель первого выражения: \( a^2 + a — ab — b \) можно выделить общий множитель \( (a + 1) \):

\( a^2 + a — ab — b = a(a + 1) — b(a + 1) = (a + 1)(a — b) \)

Знаменатель первого выражения: \( a^2 + ab + ab + b \) также можно выделить общий множитель \( (a + 1) \):

\( a^2 + ab + ab + b = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + 1)(a + b) \)

Числитель второго выражения: \( a^2 — a — ab + b \) можно выделить общий множитель \( (a — 1) \):

\( a^2 — a — ab + b = a(a — 1) — b(a — 1) = (a — 1)(a — b) \)

Знаменатель второго выражения: \( a^2 — a + ab — b \) также можно выделить общий множитель \( (a — 1) \):

\( a^2 — a + ab — b = a(a — 1) + b(a — 1) = (a — 1)(a + b) \)

Шаг 2. Подставим разложенные выражения в исходное:

\( \frac{(a + 1)(a — b)}{(a + 1)(a + b)} : \frac{(a — 1)(a — b)}{(a — 1)(a + b)} = \)

Шаг 3. Упростим выражение, сократив общие множители.

В обеих дробях можно сократить \( (a + 1) \) и \( (a — 1) \), а также \( (a — b) \) и \( (a + b) \):

\( = \frac{a — b}{a + b} : \frac{a — b}{a + b} \)

Шаг 4. После сокращения получаем:

\( = 1. \)