ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{8a^2}{a — 3b} : \frac{6a^3}{a^2 — 9b^2} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} = 1 \)

2) \( \frac{a^4 — 1000ab^3}{a^2 — 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 — b^2}{a^2b — 100b^3} : \frac{a^3 + 10a^2b + 100ab^2}{ab + 10b^2} = \frac{a + b}{a — b} \)

1) \( \frac{8a^2}{a — 3b} : \frac{6a^3}{a^2 — 9b^2} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} = 1 \)

\( \frac{8a^2}{a — 3b} \cdot \frac{a^2 — 9b^2}{6a^3} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} = 1 \)

\( \frac{8a^2 \cdot (a — 3b)(a + 3b) \cdot 3a}{(a — 3b) \cdot 6a^3 \cdot 4(a + 3b)} = 1 \)

\( \frac{24a^3}{24a^3} = 1 \)

\( 1 = 1 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

2) \( \frac{a^4 — 1000ab^3}{a^2 — 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 — b^2}{a^2b — 100b^3} : \frac{a^3 + 10a^2b + 100ab^2}{ab + 10b^2} = \frac{a + b}{a — b} \)

\( \frac{a(a^3 — 1000b^3)}{(a — b)^2} \cdot \frac{(a — b)(a + b)}{b(a^2 — 100b^2)} : \frac{a(a^2 + 10ab + 100b^2)}{b(a + 10b)} = \frac{a + b}{a — b} \)

\( \frac{a(a — 10b)(a^2 + 10ab + 100b^2) \cdot (a — b)(a + b)}{(a — b)^2 \cdot b(a — 10b)(a + 10b) \cdot a(a^2 + 10ab + 100b^2)} \cdot \frac{b(a + 10b)}{1} = \frac{a + b}{a — b} \)

\( \frac{a + b}{a — b} = \frac{a + b}{a — b} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

1) Докажем тождество:

\( \frac{8a^2}{a — 3b} : \frac{6a^3}{a^2 — 9b^2} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} = 1 \)

Шаг 1. Перепишем выражение, используя правило деления дробей как умножение на обратную:

\( \frac{8a^2}{a — 3b} \cdot \frac{a^2 — 9b^2}{6a^3} \cdot \frac{3a}{4a + 12b} = 1 \)

Шаг 2. Разложим на множители \( a^2 — 9b^2 \) и \( 4a + 12b \):

\( a^2 — 9b^2 \) — это разность квадратов, которая раскладывается как \( (a — 3b)(a + 3b) \).

\( 4a + 12b \) можно вынести за скобки как \( 4(a + 3b) \).

Шаг 3. Подставим разложенные выражения в исходное:

\( \frac{8a^2}{a — 3b} \cdot \frac{(a — 3b)(a + 3b)}{6a^3} \cdot \frac{3a}{4(a + 3b)} \)

Шаг 4. Упростим выражение, сократив общие множители \( (a — 3b) \) и \( (a + 3b) \):

\( = \frac{8a^2 \cdot (a — 3b)(a + 3b) \cdot 3a}{(a — 3b) \cdot 6a^3 \cdot 4(a + 3b)} \)

Шаг 5. Сокращаем \( (a — 3b) \), \( (a + 3b) \), а также \( a \), получаем:

\( = \frac{24a^3}{24a^3} = 1 \)

Шаг 6. Равенство выполнено, что и требовалось доказать:

\( 1 = 1 \)

2) Докажем следующее тождество:

\( \frac{a^4 — 1000ab^3}{a^2 — 2ab + b^2} \cdot \frac{a^2 — b^2}{a^2b — 100b^3} : \frac{a^3 + 10a^2b + 100ab^2}{ab + 10b^2} = \frac{a + b}{a — b} \)

Шаг 1. Разложим числители и знаменатели на множители.

Числитель первого выражения: \( a^4 — 1000ab^3 = a(a^3 — 1000b^3) \), что можно представить как \( a(a — 10b)(a^2 + 10ab + 100b^2) \) по формуле разности кубов.

Знаменатель первого выражения: \( a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2 \).

Числитель второго выражения: \( a^2 — b^2 \) — это разность квадратов, которая раскладывается как \( (a — b)(a + b) \).

Знаменатель второго выражения: \( a^2b — 100b^3 \) — можно выделить общий множитель \( b \), получаем \( b(a^2 — 100b^2) \), которое раскладывается как \( b(a — 10b)(a + 10b) \).

Числитель третьего выражения: \( a^3 + 10a^2b + 100ab^2 \) можно представить как \( a(a^2 + 10ab + 100b^2) \).

Знаменатель третьего выражения: \( ab + 10b^2 \) можно вынести \( b \), получая \( b(a + 10b) \).

Шаг 2. Подставим все разложенные множители в исходное выражение:

\( \frac{a(a — 10b)(a^2 + 10ab + 100b^2) \cdot (a — b)(a + b)}{(a — b)^2 \cdot b(a — 10b)(a + 10b) \cdot a(a^2 + 10ab + 100b^2)} \cdot \frac{b(a + 10b)}{1} \)

Шаг 3. Упростим выражение, сокращая общие множители:

Сокращаем \( a(a — 10b)(a^2 + 10ab + 100b^2) \), \( (a — b) \), \( b \), и \( (a + 10b) \):

\( = \frac{a + b}{a — b} \)

Шаг 4. Получаем результат:

\( \frac{a + b}{a — b} = \frac{a + b}{a — b} \)

Шаг 5. Таким образом, тождество доказано, что и требовалось показать:

\( \frac{a + b}{a — b} = \frac{a + b}{a — b} \)