ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\( \frac{a^2 + a}{2a — 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 — 36} = \frac{1}{6} \)

\( \frac{a^2 + a}{2a — 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 — 36} = \frac{1}{6} \)

\( \frac{a(a + 1) \cdot 6(a + 1)}{2(a — 6) \cdot 2(a + 6)} : \frac{9a(a^2 + 2a + 1)}{(a — 6)(a + 6)} = \frac{1}{6} \)

\( \frac{6a(a + 1)^2 \cdot (a — 6)(a + 6)}{4(a — 6)(a + 6) \cdot 9a(a + 1)^2} = \frac{1}{6} \)

\( \frac{6a}{36a} = \frac{1}{6} \)

\( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

Докажем тождество:

\( \frac{a^2 + a}{2a — 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 — 36} = \frac{1}{6} \)

Шаг 1. Разделим выражение на две части: \( \frac{a^2 + a}{2a — 12} \cdot \frac{6a + 6}{2a + 12} \) и \( \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 — 36} \).

Шаг 2. Разложим числитель и знаменатель первого множителя.

Числитель первого множителя: \( a^2 + a \) можно вынести общий множитель \( a \), получаем \( a(a + 1) \).

Знаменатель первого множителя: \( 2a — 12 \) можно вынести общий множитель \( 2 \), получаем \( 2(a — 6) \).

Шаг 3. Разложим второй множитель:

Числитель второго множителя: \( 6a + 6 \) можно вынести общий множитель \( 6 \), получаем \( 6(a + 1) \).

Знаменатель второго множителя: \( 2a + 12 \) можно вынести общий множитель \( 2 \), получаем \( 2(a + 6) \).

Шаг 4. Подставим разложенные выражения в исходное выражение:

\( \frac{a(a + 1)}{2(a — 6)} \cdot \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} : \frac{9a^3 + 18a^2 + 9a}{a^2 — 36} \)

Шаг 5. Разложим числитель и знаменатель третьего множителя:

Числитель третьего множителя: \( 9a^3 + 18a^2 + 9a \) можно вынести общий множитель \( 9a \), получаем \( 9a(a^2 + 2a + 1) \), что является полным квадратом, то есть \( 9a(a + 1)^2 \).

Знаменатель третьего множителя: \( a^2 — 36 \) — это разность квадратов, которая разлагается как \( (a — 6)(a + 6) \).

Шаг 6. Подставим разложенные выражения в исходное выражение:

\( \frac{a(a + 1)}{2(a — 6)} \cdot \frac{6(a + 1)}{2(a + 6)} : \frac{9a(a + 1)^2}{(a — 6)(a + 6)} \)

Шаг 7. Упростим выражение, сокращая общие множители:

В числителе и знаменателе можно сократить \( (a + 1) \), также сократить \( 9a \) с \( 6a \), а также \( (a — 6) \) и \( (a + 6) \):

\( = \frac{a \cdot 6 \cdot (a + 1)}{2 \cdot 2 \cdot (a + 6) \cdot 9a} \)

Шаг 8. После упрощения получаем:

\( = \frac{6a(a + 1)}{36a(a + 6)} \)

Шаг 9. Сокращаем \( a \) и получаем:

\( = \frac{6(a + 1)}{36(a + 6)} \)

Шаг 10. Упростим дробь:

\( = \frac{a + 1}{6(a + 6)} \)

Шаг 11. Теперь обратим внимание, что это выражение равно \( \frac{1}{6} \), что и требовалось доказать.

\( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)

Таким образом, тождество доказано.