ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} \);

2) \( \frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b}\);

3) \( \frac{m — 2}{m^2 — 49} \cdot \frac{m + 7}{m — 2} \);

4) \( (a + 4) \cdot \frac{a}{2a + 8}  \);

5) \( \frac{4a^2 — 4a + 1}{3a + 3} \cdot \frac{a + 1}{2a — 1}  \);

6) \( \frac{a^2 — 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 — 5a}  \).

1) \( \frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} = \frac{n(2m + n) \cdot 2m}{6m \cdot n} = \frac{2m + n}{3} \);

2) \( \frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b} = \frac{7(a + b) \cdot b^3}{b^6 \cdot (a + b)} = \frac{7}{b^3} \);

3) \( \frac{m — 2}{m^2 — 49} \cdot \frac{m + 7}{m — 2} = \frac{(m — 2)(m + 7)}{(m — 7)(m + 7) \cdot (m — 2)} = \frac{1}{m — 7} \);

4) \( (a + 4) \cdot \frac{a}{2a + 8} = \frac{(a + 4) \cdot a}{2(a + 4)} = \frac{a}{2} \);

5) \( \frac{4a^2 — 4a + 1}{3a + 3} \cdot \frac{a + 1}{2a — 1} = \frac{(2a — 1)^2 \cdot (a + 1)}{3(a + 1) \cdot (2a — 1)} = \frac{2a — 1}{3} \);

6) \( \frac{a^2 — 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 — 5a} = \frac{(a — 5)(a + 5) \cdot 4a^2}{4a \cdot a(a — 5)} = a + 5 \).

1) Рассмотрим выражение \( \frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} \). Начнем с того, что умножаем числители и знаменатели:

\( \frac{2mn + n^2}{6m} \cdot \frac{2m}{n} = \frac{(2mn + n^2) \cdot 2m}{6m \cdot n} \).

Теперь упростим числитель. В числителе \( 2mn + n^2 \) можно вынести \( n \) за скобки:

\( (2mn + n^2) = n(2m + n) \),

и тогда выражение примет вид:

\( \frac{n(2m + n) \cdot 2m}{6m \cdot n} \).

Сократим \( n \) в числителе и знаменателе, а также \( m \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2m + n}{3} \).

Ответ: \( \frac{2m + n}{3} \);

2) Рассмотрим выражение \( \frac{7a + 7b}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b} \). В числителе первого множителя можем вынести 7 за скобки:

\( 7a + 7b = 7(a + b) \),

и получим:

\( \frac{7(a + b)}{b^6} \cdot \frac{b^3}{a + b} = \frac{7(a + b) \cdot b^3}{b^6 \cdot (a + b)} \).

Сократим \( (a + b) \) в числителе и знаменателе, а также \( b^3 \) на \( b^6 \) в знаменателе:

\( \frac{7 \cdot b^3}{b^6} = \frac{7}{b^3} \).

Ответ: \( \frac{7}{b^3} \);

3) Рассмотрим выражение \( \frac{m — 2}{m^2 — 49} \cdot \frac{m + 7}{m — 2} \). Заметим, что \( m^2 — 49 \) — это разность квадратов:

\( m^2 — 49 = (m — 7)(m + 7) \),

и выражение примет вид:

\( \frac{(m — 2)(m + 7)}{(m — 7)(m + 7) \cdot (m — 2)} \).

Теперь мы можем сократить \( (m — 2) \) и \( (m + 7) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{1}{m — 7} \).

Ответ: \( \frac{1}{m — 7} \);

4) Рассмотрим выражение \( (a + 4) \cdot \frac{a}{2a + 8} \). Мы видим, что в числителе \( a \cdot (a + 4) \), а в знаменателе \( 2(a + 4) \). Заметим, что \( (a + 4) \) встречается и в числителе, и в знаменателе, и можем его сократить:

\( \frac{(a + 4) \cdot a}{2(a + 4)} = \frac{a}{2} \).

Ответ: \( \frac{a}{2} \);

5) Рассмотрим выражение \( \frac{4a^2 — 4a + 1}{3a + 3} \cdot \frac{a + 1}{2a — 1} \). В числителе первого множителя можем заметить полный квадрат:

\( 4a^2 — 4a + 1 = (2a — 1)^2 \),

и получим следующее выражение:

\( \frac{(2a — 1)^2 \cdot (a + 1)}{3(a + 1) \cdot (2a — 1)} \).

Теперь сократим \( (a + 1) \) и \( (2a — 1) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{2a — 1}{3} \).

Ответ: \( \frac{2a — 1}{3} \);

6) Рассмотрим выражение \( \frac{a^2 — 25}{4a} \cdot \frac{4a^2}{a^2 — 5a} \). В числителе первого множителя можно разложить \( a^2 — 25 \) как разность квадратов:

\( a^2 — 25 = (a — 5)(a + 5) \),

и получаем следующее выражение:

\( \frac{(a — 5)(a + 5) \cdot 4a^2}{4a \cdot a(a — 5)} \).

Теперь сократим \( 4a \) и \( (a — 5) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{(a + 5) \cdot a}{a} = a + 5 \).

Ответ: \( a + 5 \).