ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{n^2 — 9}{n^2 — 1} : \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 — 4n + 3} \)

2) \( \frac{a^5 + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} : \frac{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1}{a^4 — 1}  \)

1) \( \frac{n^2 — 9}{n^2 — 1} : \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 — 4n + 3} = \)

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{n^2 — 4n + 3}{n^2 + 4n + 3} = \)

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{n^2 — 4n + 4 — 1}{n^2 + 4n + 4 — 1} = \)

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{(n — 2)^2 — 1}{(n + 2)^2 — 1} = \)

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{(n — 2 — 1)(n — 2 + 1)}{(n + 2 — 1)(n + 2 + 1)} = \)

\( = \frac{(n — 3)(n + 3) \cdot (n — 3)(n — 1)}{(n — 1)(n + 1) \cdot (n + 1)(n + 3)} = \)

\( = \frac{(n — 3)^2}{(n + 1)^2};\)

2) \( \frac{a^5 + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} : \frac{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1}{a^4 — 1} = \)

\( \frac{a^5 + 1}{a^2(a + 1) + (a + 1)} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1} = \)

\( = \frac{a^5 + 1}{(a^2 + 1)(a + 1)} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1}.\)

Опечатка в учебнике, невозможно упростить данное выражение.

Скорее всего должно быть так (судя по ответу в учебнике):

\( \frac{a^5 + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} : \frac{a^2 — a + 1}{a^4 — 1} = \)

\( \frac{(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + 1)}{a^2(a + 1) + (a + 1)} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^2 — a + 1} = \)

\( = \frac{(a + 1) \cdot (a^2 — a + 1)(a^2 + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} \cdot \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{a^2 — a + 1} = \)

\( = \frac{(a + 1)(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} = a^2 — 1.\)

1) Упростим выражение: \( \frac{n^2 — 9}{n^2 — 1} : \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 — 4n + 3} \)

Перепишем деление как умножение на обратное число:

\( = \frac{n^2 — 9}{n^2 — 1} \cdot \frac{n^2 — 4n + 3}{n^2 + 4n + 3} \)

Теперь разложим числители и знаменатели на множители.

В первом дроби числитель \( n^2 — 9 \) — это разность квадратов:

\( n^2 — 9 = (n — 3)(n + 3) \),

А знаменатель \( n^2 — 1 \) — тоже разность квадратов:

\( n^2 — 1 = (n — 1)(n + 1) \),

Поэтому получаем:

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{n^2 — 4n + 3}{n^2 + 4n + 3} \)

Теперь рассмотрим вторую дробь. Рассмотрим числитель и знаменатель:

Числитель \( n^2 — 4n + 3 \) не является очевидной разностью квадратов, но его можно привести к виду, похожему на полный квадрат:

Попробуем так: \( n^2 — 4n + 3 = (n — 2)^2 — 1 \),

Знаменатель \( n^2 + 4n + 3 \) можно представить так же, как полный квадрат, только с добавлением единицы:

Таким образом, \( n^2 + 4n + 3 = (n + 2)^2 — 1 \),

Теперь перепишем выражение:

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{(n — 2)^2 — 1}{(n + 2)^2 — 1} \)

Далее применим формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) для числителей и знаменателей.

В числителе \( (n — 2)^2 — 1 = (n — 2 — 1)(n — 2 + 1) = (n — 3)(n — 1) \),

В знаменателе \( (n + 2)^2 — 1 = (n + 2 — 1)(n + 2 + 1) = (n + 1)(n + 3) \),

Таким образом, получаем:

\( = \frac{(n — 3)(n + 3)}{(n — 1)(n + 1)} \cdot \frac{(n — 3)(n — 1)}{(n + 1)(n + 3)} \)

Теперь упростим. Мы видим, что множители \( (n — 1) \) и \( (n + 3) \) сокращаются:

\( = \frac{(n — 3)^2}{(n + 1)^2} \)

Итак, финальный ответ:

\( = \frac{(n — 3)^2}{(n + 1)^2} \).

2) Упростим выражение: \( \frac{a^5 + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} : \frac{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1}{a^4 — 1} \)

Перепишем деление как умножение на обратное число:

\( = \frac{a^5 + 1}{a^3 + a^2 + a + 1} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1} \)

Посмотрим на числитель и знаменатель первой дроби. \( a^5 + 1 \) — это сумма двух кубов:

\( a^5 + 1 = (a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1) \),

Теперь перепишем выражение:

\( = \frac{(a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1)}{a^3 + a^2 + a + 1} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1} \)

Теперь рассмотрим знаменатель первой дроби \( a^3 + a^2 + a + 1 \). Он может быть записан как:

\( a^3 + a^2 + a + 1 = (a + 1)(a^2 + 1) \),

Таким образом, выражение превращается в:

\( = \frac{(a + 1)(a^4 — a^3 + a^2 — a + 1)}{(a + 1)(a^2 + 1)} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^4 — a^3 + a^2 — a + 1} \)

Теперь сократим множители \( (a + 1) \) и \( a^4 — a^3 + a^2 — a + 1 \), получаем:

\( = \frac{a^4 — 1}{(a^2 + 1)} \cdot \frac{a^4 — 1}{a^2 + 1} \)

Теперь применим разность квадратов \( a^4 — 1 = (a^2 — 1)(a^2 + 1) \), и получаем:

\( = \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{(a^2 + 1)} \cdot \frac{(a^2 — 1)(a^2 + 1)}{(a^2 + 1)} \)

Сократим \( (a^2 + 1) \) и получим:

\( = (a^2 — 1) \),

Итак, финальный ответ:

\( = a^2 — 1 \).