ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 38.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{x^2 — y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5} \)

2) \( \frac{c — 5}{c^2 — 4c} : \frac{c — 5}{5c — 20} \)

3) \( \frac{x — y}{xy} : \frac{x^2 — y^2}{3xy} \)

4) \( \frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} : (a — 2) \)

5) \( (p^2 — 16k^2) : \frac{p + 4k}{p} \)

6) \( \frac{a^2 — ab}{a^2} : \frac{a^2 — 2ab + b^2}{ab} \)

1) \( \frac{x^2 — y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5} = \frac{(x — y)(x + y)}{x^2} \cdot \frac{x^5}{6(x + y)} = \)

\( = \frac{(x — y)(x + y) \cdot x^5}{x^2 \cdot 6(x + y)} = \frac{x^3(x — y)}{6}; \)

2) \( \frac{c — 5}{c^2 — 4c} : \frac{c — 5}{5c — 20} = \frac{c — 5}{c(c — 4)} \cdot \frac{5(c — 4)}{c — 5} = \frac{(c — 5) \cdot 5(c — 4)}{c(c — 4) \cdot (c — 5)} = \frac{5}{c}; \)

3) \( \frac{x — y}{xy} : \frac{x^2 — y^2}{3xy} = \frac{x — y}{xy} \cdot \frac{3xy}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y) \cdot 3xy}{xy \cdot (x — y)(x + y)} = \frac{3}{x + y}; \)

4) \( \frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} : (a — 2) = \frac{(a — 2)^2}{a + 2} \cdot \frac{1}{a — 2} = \frac{(a — 2)^2}{(a + 2)(a — 2)} = \frac{a — 2}{a + 2}; \)

5) \( (p^2 — 16k^2) : \frac{p + 4k}{p} = \frac{(p — 4k)(p + 4k) \cdot p}{p + 4k} = p(p — 4k); \)

6) \( \frac{a^2 — ab}{a^2} : \frac{a^2 — 2ab + b^2}{ab} = \frac{a^2 — ab}{a^2} \cdot \frac{ab}{(a — b)^2} = \frac{a(a — b) \cdot ab}{a^2 \cdot (a — b)^2} = \frac{b}{a — b}. \)

1) \( \frac{x^2 — y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5} \)

Начнем с упрощения выражений:

Первое выражение можно представить как разность квадратов:

\( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \)

Теперь перепишем деление как умножение на обратную величину второй дроби:

\( \frac{x^2 — y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5} = \frac{(x — y)(x + y)}{x^2} \cdot \frac{x^5}{6(x + y)} \)

Теперь можно упростить. В числителе есть множитель \( (x + y) \), который можно сократить с аналогичным выражением в знаменателе:

\( \frac{(x — y)(x + y) \cdot x^5}{x^2 \cdot 6(x + y)} = \frac{(x — y) \cdot x^5}{x^2 \cdot 6} \)

Теперь сократим \( x^5 \) и \( x^2 \) на степени \(x\):

\( \frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3 \)

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \frac{x^3(x — y)}{6} \)

Итог: \( \frac{x^3(x — y)}{6} \).

2) \( \frac{c — 5}{c^2 — 4c} : \frac{c — 5}{5c — 20} \)

Начнем с разложения выражений в числителе и знаменателе:

В числителе второго выражения можно вынести общий множитель \( c — 5 \), а в знаменателе первого выражения \( c^2 — 4c = c(c — 4) \), а в знаменателе второго выражения \( 5c — 20 = 5(c — 4) \).

Теперь перепишем выражение, заменив эти разложения:

\( \frac{c — 5}{c(c — 4)} : \frac{c — 5}{5(c — 4)} = \frac{c — 5}{c(c — 4)} \cdot \frac{5(c — 4)}{c — 5} \)

Теперь можем сократить одинаковые множители \( c — 5 \) и \( c — 4 \):

\( \frac{(c — 5) \cdot 5(c — 4)}{c(c — 4) \cdot (c — 5)} = \frac{5}{c} \)

Итог: \( \frac{5}{c} \).

3) \( \frac{x — y}{xy} : \frac{x^2 — y^2}{3xy} \)

Используем разложение \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \), тогда выражение становится:

\( \frac{x — y}{xy} : \frac{x^2 — y^2}{3xy} = \frac{x — y}{xy} \cdot \frac{3xy}{(x — y)(x + y)} \)

Теперь можем сократить множители \( x — y \) и \( xy \):

\( \frac{(x — y) \cdot 3xy}{xy \cdot (x — y)(x + y)} = \frac{3}{x + y} \)

Итог: \( \frac{3}{x + y} \).

4) \( \frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} : (a — 2) \)

Разложим числитель \( a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2 \), тогда выражение становится:

\( \frac{(a — 2)^2}{a + 2} : (a — 2) = \frac{(a — 2)^2}{a + 2} \cdot \frac{1}{a — 2} \)

Теперь сокращаем \( a — 2 \):

\( \frac{(a — 2)^2}{(a + 2)(a — 2)} = \frac{a — 2}{a + 2} \)

Итог: \( \frac{a — 2}{a + 2} \).

5) \( (p^2 — 16k^2) : \frac{p + 4k}{p} \)

Разложим числитель \( p^2 — 16k^2 = (p — 4k)(p + 4k) \), тогда выражение становится:

\( (p^2 — 16k^2) : \frac{p + 4k}{p} = \frac{(p — 4k)(p + 4k) \cdot p}{p + 4k} \)

Теперь сокращаем \( p + 4k \):

\( \frac{(p — 4k)(p + 4k) \cdot p}{p + 4k} = p(p — 4k) \)

Итог: \( p(p — 4k) \).

6) \( \frac{a^2 — ab}{a^2} : \frac{a^2 — 2ab + b^2}{ab} \)

В числителе первого выражения можно вынести общий множитель \( a \), а в числителе второго выражения разложить \( a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2 \). Тогда выражение становится:

\( \frac{a^2 — ab}{a^2} : \frac{a^2 — 2ab + b^2}{ab} = \frac{a(a — b)}{a^2} \cdot \frac{ab}{(a — b)^2} \)

Теперь сокращаем на \( a \) и \( (a — b) \):

\( \frac{a(a — b) \cdot ab}{a^2 \cdot (a — b)^2} = \frac{b}{a — b} \)

Итог: \( \frac{b}{a — b} \).