ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \( \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} — \frac{3}{a-2}  \)

2) \( \frac{b^2+3b}{b^3+9b} \cdot \left( \frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3} \right)  \)

3) \( \left( \frac{1}{a^2 — 4ab + 4b^2} — \frac{1}{4b^2 — a^2} \right) : \frac{2a}{a^2 — 4b^2} \)

4) \( \left( \frac{2x+1}{x^2+6x+9} — \frac{x-2}{x^2+3x} \right) : \frac{x^2+6}{x^3-9x} \)

1) \( \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} — \frac{3}{a-2} = \frac{a+2}{(a-1)^2} \cdot \frac{3a-3}{a^2-4} — \frac{3}{a-2} = \)

\( = \frac{(a+2) \cdot 3(a-1)}{(a-1)^2 \cdot (a-2)(a+2)} — \frac{3}{a-2} = \frac{3}{(a-1)(a-2)} — \frac{3}{a-2} = \)

\( = \frac{3 — 3(a-1)}{(a-1)(a-2)} = \frac{3 — 3a + 3}{(a-1)(a-2)} = \frac{6 — 3a}{(a-1)(a-2)} = \)

\( = \frac{-3(a-2)}{(a-1)(a-2)} = -\frac{3}{a-1} = \frac{3}{1-a}; \)

2) \( \frac{b^2+3b}{b^3+9b} \cdot \left( \frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3} \right) = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} \cdot \frac{(b-3)^2 + (b+3)^2}{(b-3)(b+3)} = \)

\( = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} \cdot \frac{b^2 — 6b + 9 + b^2 + 6b + 9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} \cdot \frac{2b^2 + 18}{(b-3)(b+3)} = \)

\( = \frac{b(b+3) \cdot 2(b^2 + 9)}{b(b^2+9) \cdot (b-3)(b+3)} = \frac{2}{b-3}; \)

3) \( \left( \frac{1}{a^2 — 4ab + 4b^2} — \frac{1}{4b^2 — a^2} \right) : \frac{2a}{a^2 — 4b^2} = \)

\( = \left( \frac{1}{(a-2b)^2} + \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \right) \cdot \frac{a^2 — 4b^2}{2a} = \)

\( = \frac{a+2b + a-2b}{(a-2b)^2 (a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} = \frac{2a \cdot (a-2b)(a+2b)}{(a-2b)^2 (a+2b) \cdot 2a} = \frac{1}{a-2b}; \)

4) \( \left( \frac{2x+1}{x^2+6x+9} — \frac{x-2}{x^2+3x} \right) : \frac{x^2+6}{x^3-9x} = \left( \frac{2x+1}{(x+3)^2} — \frac{x-2}{x(x+3)} \right) \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} = \)

\( = \frac{x(2x+1) — (x-2)(x+3)}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} = \frac{2x^2 + x — (x^2 + 3x — 2x — 6)}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} = \)

\( = \frac{2x^2 + x — x^2 — x + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} = \frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2+6} = \)

\( = \frac{(x^2+6) \cdot x(x-3)(x+3)}{x(x+3)^2 \cdot (x^2+6)} = \frac{x-3}{x+3}. \)

1) \( \frac{a+2}{a^2-2a+1} : \frac{a^2-4}{3a-3} — \frac{3}{a-2}  \)

Шаг 1: Преобразуем числители и знаменатели в более удобную форму.
\( a^2-2a+1 = (a-1)^2 \) и \( a^2-4 = (a-2)(a+2) \), следовательно:
\( = \frac{a+2}{(a-1)^2} \cdot \frac{3(a-1)}{(a-2)(a+2)} — \frac{3}{a-2} \)

Шаг 2: Сократим выражения. В первой части можно сократить \((a-1)\) в числителе и знаменателе:
\( = \frac{(a+2) \cdot 3}{(a-1) \cdot (a-2)(a+2)} — \frac{3}{a-2} \)

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для двух дробей — \((a-1)(a-2)\). Приводим обе дроби к этому знаменателю:
\( = \frac{3}{(a-1)(a-2)} — \frac{3}{a-2} = \frac{3 — 3(a-1)}{(a-1)(a-2)} \)

Шаг 4: Упростим выражение в числителе:
\( = \frac{3 — 3a + 3}{(a-1)(a-2)} = \frac{6 — 3a}{(a-1)(a-2)} \)

Шаг 5: Вынесем \(-3\) за скобки:
\( = \frac{-3(a-2)}{(a-1)(a-2)} \)

Шаг 6: Сократим \((a-2)\) в числителе и знаменателе:
\( = -\frac{3}{a-1} = \frac{3}{1-a} \)

Ответ: \( \frac{3}{1-a}  \)

2) \( \frac{b^2+3b}{b^3+9b} \cdot \left( \frac{b-3}{b+3} + \frac{b+3}{b-3} \right)  \)

Шаг 1: Упростим выражение в скобках:
\( (b-3)^2 + (b+3)^2 = b^2 — 6b + 9 + b^2 + 6b + 9 = 2b^2 + 18 \)
Следовательно:
\( = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} \cdot \frac{2b^2 + 18}{(b-3)(b+3)} \)

Шаг 2: Упростим дробь:
\( = \frac{b(b+3)}{b(b^2+9)} \cdot \frac{2(b^2 + 9)}{(b-3)(b+3)} \)

Шаг 3: Сократим \(b\) и \(b^2+9\):
\( = \frac{2}{b-3} \)

Ответ: \( \frac{2}{b-3} \)

3) \( \left( \frac{1}{a^2 — 4ab + 4b^2} — \frac{1}{4b^2 — a^2} \right) : \frac{2a}{a^2 — 4b^2} \)

Шаг 1: Преобразуем выражения в числителе:
\( a^2 — 4ab + 4b^2 = (a — 2b)^2, \quad 4b^2 — a^2 = (2b — a)(2b + a) \)
Тогда:
\( = \left( \frac{1}{(a-2b)^2} — \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \right) \cdot \frac{a^2 — 4b^2}{2a} \)

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:
\( = \frac{a+2b + a-2b}{(a-2b)^2 (a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{2a} \)

Шаг 3: Сократим \((a-2b)\) и \((a+2b)\) в числителе и знаменателе:
\( = \frac{2a \cdot (a-2b)(a+2b)}{(a-2b)^2 (a+2b) \cdot 2a} = \frac{1}{a-2b} \)

Ответ: \( \frac{1}{a-2b} \)

4) \( \left( \frac{2x+1}{x^2+6x+9} — \frac{x-2}{x^2+3x} \right) : \frac{x^2+6}{x^3-9x} \)

Шаг 1: Преобразуем выражения в знаменателях:
\( x^2+6x+9 = (x+3)^2, \quad x^2+3x = x(x+3) \)
Тогда:
\( = \left( \frac{2x+1}{(x+3)^2} — \frac{x-2}{x(x+3)} \right) \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} \)

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:
\( = \frac{x(2x+1) — (x-2)(x+3)}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} \)

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:
\( = \frac{2x^2 + x — (x^2 + 3x — 2x — 6)}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} \)

Шаг 4: Упростим числитель:
\( = \frac{2x^2 + x — x^2 — x + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x^2-9)}{x^2+6} \)

Шаг 5: Получаем:
\( = \frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2+6} \)

Шаг 6: Сократим \((x^2 + 6)\) и получим:
\( = \frac{(x^2+6) \cdot x(x-3)(x+3)}{x(x+3)^2 \cdot (x^2+6)} = \frac{x-3}{x+3} \)

Ответ: \( \frac{x-3}{x+3} \)