ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}  \)

2) \( \frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{a+1}}} \)

1) \( \frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}} = \frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} \div \frac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} \div \frac{a^2-a^2+b^2}{a(a+b)} \)

\( = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \div \frac{b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2}; \)

2) \( \frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{a+1}}} = \frac{1}{1-\frac{1}{\frac{a+1-1}{a+1}}} = \frac{1}{1-\frac{1}{\frac{a}{a+1}}} = \frac{1}{1-\frac{a+1}{a}} \)

\( = \frac{1}{\frac{a-(a+1)}{a}} = \frac{1}{\frac{a-a-1}{a}} = \frac{1}{\frac{-1}{a}} = -\frac{a}{1} = -a. \)

1) Упростим выражение:

\( \frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \)

Для того чтобы сложить эти дроби, нам нужно найти наименьший общий знаменатель (НОД). НОД для \( a + b \) и \( a \) — это произведение этих выражений \( a(a+b) \). Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)a}{a(a+b)} \)

\( \frac{b}{a} = \frac{b(a+b)}{a(a+b)} \)

Теперь числитель:

\( \frac{(a-b)a}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( a(a-b) = a^2 — ab \)

\( b(a+b) = ab + b^2 \)

Теперь числитель:

\( a^2 — ab + ab + b^2 = a^2 + b^2 \)

Таким образом, числитель упрощается до \( a^2 + b^2 \).

Знаменатель: \( \frac{a}{a+b} — \frac{a-b}{a} \)

Для того чтобы сложить эти дроби, опять нужно найти НОД для \( a + b \) и \( a \), который равен \( a(a+b) \). Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{a}{a+b} = \frac{a \cdot a}{a(a+b)} = \frac{a^2}{a(a+b)} \)

\( \frac{a-b}{a} = \frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)} \)

Теперь знаменатель:

\( \frac{a^2}{a(a+b)} — \frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2 — (a-b)(a+b)}{a(a+b)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (a-b)(a+b) = a^2 — b^2 \)

Теперь знаменатель:

\( \frac{a^2 — (a^2 — b^2)}{a(a+b)} = \frac{a^2 — a^2 + b^2}{a(a+b)} = \frac{b^2}{a(a+b)} \)

Шаг 2: Подставляем полученные числитель и знаменатель:

\( \frac{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}} \)

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители \( a(a+b) \):

\( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \)

Ответ: \( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \)

2) Упростим выражение:

\( \frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{a+1}}} \)

Шаг 1: Начнем с упрощения внутренней дроби.

Внутренняя дробь: \( \frac{1}{a+1} \)

Подставим её во вторую дробь:

\( 1 — \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1} \)

Шаг 2: Теперь имеем:

\( 1 — \frac{1}{1 — \frac{a}{a+1}} \)

Подставляем:

\( 1 — \frac{a}{a+1} = \frac{a+1 — a}{a+1} = \frac{1}{a+1} \)

Шаг 3: Теперь у нас:

\( \frac{1}{\frac{1}{a+1}} = a + 1 \)

Шаг 4: Подставляем это в исходное:

\( \frac{1}{1 — \frac{1}{a+1}} = -a \)

Ответ: \( -a \)