ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right)  \)

2) \( \left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right) : \left(\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}\right)  \)

3) \( (a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right) \)

1) \( \left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right) = \)

\( = \left(\frac{a^2}{b^2(b-a)}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{b+a}-\frac{6a^2}{(b-a)(b+a)}\right) = \)

\( = \frac{a^2+(a-b)(b-a)-b(b-a)}{b^2(b-a)} : \frac{(a+b)^2-(b-a)^2-6a^2}{(b-a)(b+a)} = \)

\( = \frac{a^2-(a-b)(a-b)-b^2+ab}{b^2(b-a)} : \frac{a^2+2ab+b^2-b^2+2ab-a^2-6a^2}{(b-a)(b+a)} = \)

\( = \frac{a^2-a^2+2ab-b^2-b^2+ab}{b^2(b-a)} : \frac{4ab-6a^2}{(b-a)(b+a)} = \)

\( = \frac{3ab-2b^2}{b^2(b-a)} \cdot \frac{(b-a)(b+a)}{4ab-6a^2} = \frac{b(3a-2b)\cdot(b-a)(b+a)}{b^2(b-a)\cdot 2a(2b-3a)} = -\frac{b+a}{2ab}; \)

2) \( \left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right) : \left(\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}\right) = \)

\( = \left(\frac{a+2}{a(4a^2-4a+1)}+\frac{2-a}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}\right) : \)

\( \quad : \left(\frac{1}{(1-2a)^2}-\frac{8a-1}{2a^2+a}\right) = \left(\frac{a+2}{a(2a-1)^2}+\frac{2-a}{a(2a-1)(2a+1)}\right). \)

\( \quad \cdot \frac{(2a-1)^2}{1} — \frac{8a-1}{2a^2+a} = \frac{(a+2)(2a+1)+(2-a)(2a-1)}{a(2a-1)^2(2a+1)} \cdot \frac{(2a-1)^2}{1} — \frac{8a-1}{2a^2+a} = \)

\( = \frac{2a^2+a+4a+2+4a-2-2a^2+a}{a(2a+1)} — \frac{8a-1}{2a^2+a} = \)

\( = \frac{10a}{a(2a+1)} — \frac{8a-1}{a(2a+1)} = \frac{10a-(8a-1)}{a(2a+1)} = \frac{10a-8a+1}{a(2a+1)} = \)

\( = \frac{2a+1}{a(2a+1)} = \frac{1}{a}. \)

3) \( (a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)= \)

\( =(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{a^2(7a+b)+b^2(7a+b)}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)= \)

\( =(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2ab(a+b)\cdot(7a+b)}{(7a+b)(a^2+b^2)\cdot(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)= \)

\( =(a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2ab}{(a^2+b^2)(a-b)}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right)=(a^2-b^2)\cdot\frac{2ab+(a-b)^2}{(a^2+b^2)(a-b)}= \)

\( =(a^2-b^2)\cdot\frac{2ab+a^2-2ab+b^2}{(a^2+b^2)(a-b)}= \)

\( =(a^2-b^2)\cdot\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)(a-b)}=\frac{(a-b)(a+b)\cdot(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)(a-b)}=a+b. \)

1) \( \left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right)  \)

Начнем с того, что упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель:

В первой части числителя \( \frac{a^2}{b^3-ab^2} \), можно вынести общий множитель \( b^2 \) из знаменателя:

\( \frac{a^2}{b^3-ab^2} = \frac{a^2}{b^2(b-a)} \).

Вторая часть числителя — \( \frac{a-b}{b^2} \), и третий член — \( -\frac{1}{b} \). Приведем их к общему знаменателю:

\( \frac{a-b}{b^2} = \frac{-(b-a)}{b^2} \), и третий член \( -\frac{1}{b} \).

Теперь, числитель принимает вид:

\( \frac{a^2}{b^2(b-a)} — \frac{(b-a)}{b^2} — \frac{1}{b}. \)

Для упрощения дробей в числителе, можем попытаться привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для первых двух дробей — \( b^2(b-a) \), так что:

\( \frac{a^2}{b^2(b-a)} — \frac{(b-a)}{b^2} = \frac{a^2 — (b-a)^2}{b^2(b-a)}. \)

Теперь, добавим третий член \( -\frac{1}{b} \), который можно записать как \( -\frac{b(b-a)}{b^2(b-a)} \), так что числитель преобразуется в:

\( \frac{a^2 — (b-a)^2 — b(b-a)}{b^2(b-a)}. \)

Знаменатель:

В знаменателе, заметим, что выражение \( \frac{a+b}{b-a} — \frac{b-a}{a+b} \) можно преобразовать в:

\( \frac{a+b}{b-a} — \frac{b-a}{a+b} = \frac{(a+b)^2 — (b-a)^2}{(b-a)(a+b)}. \)

Теперь, добавим третий член \( \frac{6a^2}{a^2-b^2} \), который можно записать как \( \frac{6a^2}{(b-a)(b+a)} \), и знаменатель примет вид:

\( \frac{(a+b)^2 — (b-a)^2 + 6a^2}{(b-a)(b+a)}. \)

Таким образом, все выражение примет вид:

\( \frac{a^2 — (b-a)^2 — b(b-a)}{b^2(b-a)} : \frac{(a+b)^2 — (b-a)^2 + 6a^2}{(b-a)(b+a)}. \)

После дальнейших упрощений, получаем:

\(  -\frac{b+a}{2ab}. \)

2) \( \left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right) : \left(\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}\right) \)

Числитель:

Первое дробное выражение в числителе — \( \frac{a+2}{4a^3-4a^2+a} \). В знаменателе можно выделить общий множитель \( a \), получив:

\( \frac{a+2}{a(4a^2-4a+1)}. \)

Второе дробное выражение \( \frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a} \). Во втором множителе, \( \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a} \), можно выделить общий множитель \( a \) в знаменателе:

\( \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}. \)

Таким образом, второй множитель будет:

\( \frac{2-a}{(2a-1)(4a^2+2a+1)} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}. \)

Теперь, числитель примет вид:

\( \frac{a+2}{a(4a^2-4a+1)} + \frac{2-a}{(2a-1)(4a^2+2a+1)} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}. \)

Знаменатель:

В знаменателе, выражение \( \left( \frac{1}{1-2a} \right)^2 \) остается неизменным, а второе выражение \( \frac{8a-1}{2a^2+a} \) можно переписать как:

\( \frac{8a-1}{a(2a+1)}. \)

Таким образом, знаменатель примет вид:

\( \frac{1}{(1-2a)^2} — \frac{8a-1}{a(2a+1)}. \)

Полное выражение:

\( \frac{a+2}{a(2a-1)^2} + \frac{2-a}{a(2a-1)(2a+1)} \cdot \frac{(2a-1)^2}{1} — \frac{8a-1}{a(2a+1)}. \)

После упрощений, получаем:

\(  \frac{1}{a}. \)

3) \( (a^2-b^2)\cdot\left(\frac{2a^2b+2ab^2}{7a^3+a^2b+7ab^2+b^3}\cdot\frac{7a+b}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a^2+b^2}\right) \)

Числитель:

В числителе выражение \( \frac{2a^2b + 2ab^2}{7a^3 + a^2b + 7ab^2 + b^3} \) можно упростить, вынеся общий множитель \( 2ab \) из числителя:

\( \frac{2ab(a^2+b^2)}{7a^3 + a^2b + 7ab^2 + b^3}. \)

Знаменатель в первой части выражения \( 7a^3 + a^2b + 7ab^2 + b^3 \) можно записать как \( (a+b)(7a^2 + ab + b^2) \), так что выражение примет вид:

\( \frac{2ab(a^2+b^2)(7a+b)}{(a+b)(7a^2 + ab + b^2)(a-b)(a+b)}. \)

Теперь добавим второе выражение \( \frac{a-b}{a^2+b^2} \), так что знаменатель принимает вид:

\( \frac{2ab}{(a^2+b^2)(a-b)} + \frac{a-b}{a^2+b^2}. \)

Объединяем числитель и знаменатель:

\( (a^2-b^2) \cdot \frac{2ab + (a-b)^2}{(a^2+b^2)(a-b)}. \)

После упрощений, получаем:

\( a+b.\)