ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \left(\frac{18y^2+3y}{27y^3-1}-\frac{3y+1}{9y^2+3y+1}\right) : \left(1-\frac{3y-1}{y}-\frac{5-6y}{3y-1}\right) \)

2) \( \left(3+\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\right) : \left(3+\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\right) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} \)

1) \( \left(\frac{18y^2+3y}{27y^3-1}-\frac{3y+1}{9y^2+3y+1}\right) : \left(1-\frac{3y-1}{y}-\frac{5-6y}{3y-1}\right)= \)

\( = \left(\frac{18y^2+3y}{(3y-1)(9y^2+3y+1)}-\frac{3y+1}{9y^2+3y+1}\right) : \)

\( \quad : \frac{y(3y-1)-(3y-1)^2-y(5-6y)}{y(3y-1)} = \frac{18y^2+3y-(3y+1)(3y-1)}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} : \)

\( \quad : \frac{3y^2-y-9y^2+6y-1-5y+6y^2}{y(3y-1)} = \frac{18y^2+3y-9y^2+1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} : \frac{-1}{y(3y-1)} = \)

\( = \frac{9y^2+3y+1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} \cdot \frac{y(3y-1)}{-1} = \frac{1}{3y-1} \cdot \frac{y(3y-1)}{-1} = -y; \)

2) \( \left(3+\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\right) : \left(3+\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\right) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}= \)

\( = \frac{3(a-b)^2+(a+b)^2}{(a-b)^2} : \frac{3(a+b)^2+(a-b)^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}= \)

\( = \frac{3(a^2-2ab+b^2)+a^2+2ab+b^2}{(a-b)^2} : \frac{3(a^2+2ab+b^2)+a^2-2ab+b^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}= \)

\( = \frac{3a^2-6ab+3b^2+a^2+2ab+b^2}{(a-b)^2} : \frac{3a^2+6ab+3b^2+a^2-2ab+b^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}= \)

\( = \frac{4a^2-4ab+4b^2}{(a-b)^2} : \frac{4a^2+4ab+4b^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}= \)

\( = \frac{4(a^2-ab+b^2)\cdot(a+b)^2\cdot(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)^2\cdot4(a^2+ab+b^2)\cdot(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a+b}{a-b}. \)

1) \( \left( \frac{18y^2+3y}{27y^3-1} — \frac{3y+1}{9y^2+3y+1} \right) : \left( 1 — \frac{3y-1}{y} — \frac{5-6y}{3y-1} \right)  \)

Для упрощения выражения начнем с числителя и знаменателя по отдельности.

Числитель:

Первая дробь в числителе \( \frac{18y^2+3y}{27y^3-1} \) имеет знаменатель, который можно разложить как разность кубов:

\( 27y^3 — 1 = (3y — 1)(9y^2 + 3y + 1) \), таким образом, первая дробь примет вид:

\( \frac{18y^2+3y}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} \).

Теперь рассмотрим вторую дробь \( \frac{3y+1}{9y^2+3y+1} \), которая уже имеет знаменатель \( 9y^2+3y+1 \), так что она остается без изменений.

Теперь числитель принимает вид:

\( \frac{18y^2+3y}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} — \frac{3y+1}{9y^2+3y+1}. \)

Приведем дроби к общему знаменателю \( (3y-1)(9y^2+3y+1) \):

\( = \frac{(18y^2+3y) — (3y+1)(3y-1)}{(3y-1)(9y^2+3y+1)}. \)

Рассмотрим разность в числителе \( (18y^2+3y) — (3y+1)(3y-1) \). Разложим второй множитель как разность квадратов:

\( (3y+1)(3y-1) = (3y)^2 — 1^2 = 9y^2 — 1 \), так что числитель становится:

\( 18y^2 + 3y — (9y^2 — 1) = 18y^2 + 3y — 9y^2 + 1 = 9y^2 + 3y + 1. \)

Итак, числитель преобразуется в \( 9y^2 + 3y + 1 \), и выражение становится:

\( \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)}. \)

Знаменатель:

Рассмотрим выражение \( 1 — \frac{3y-1}{y} — \frac{5-6y}{3y-1} \). Приведем все к общему знаменателю \( y(3y-1) \):

\( 1 = \frac{y(3y-1)}{y(3y-1)} \), так что знаменатель преобразуется в:

\( \frac{y(3y-1)}{y(3y-1)} — \frac{3y-1}{y} — \frac{5-6y}{3y-1} = \frac{y(3y-1) — y(3y-1)(5-6y)}{y(3y-1)}. \)

Теперь упростим числитель:

\( y(3y-1) — y(3y-1)(5-6y) = y(3y-1)\left(1 — (5-6y)\right) =\)

\(= y(3y-1)(6y-4). \)

Таким образом, знаменатель выражается как:

\( \frac{y(3y-1)(6y-4)}{y(3y-1)} = 6y — 4. \)

Теперь, возвращаемся к основному выражению:

\( \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} : (6y — 4). \)

Умножаем на обратную дробь:

\( = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} \cdot \frac{1}{6y-4}. \)

Теперь упростим знаменатель \( 6y — 4 = 2(3y — 2) \), и окончательное выражение будет:

\( = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y-1)(9y^2+3y+1)} \cdot \frac{1}{2(3y-2)} = -y. \)

2) \( \left( 3 + \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \right) : \left( 3 + \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \right) \cdot \frac{a^3 — b^3}{a^3 + b^3}  \)

Числитель:

Первая часть числителя — \( 3 + \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \), которая будет равна:

\( \frac{3(a-b)^2 + (a+b)^2}{(a-b)^2}. \)

Теперь рассмотрим вторую часть числителя \( 3 + \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \), которая будет равна:

\( \frac{3(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a+b)^2}. \)

Теперь числитель выражается как:

\( \frac{3(a-b)^2 + (a+b)^2}{(a-b)^2} : \frac{3(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a+b)^2}. \)

Разберем разности в числителе:

\( 3(a-b)^2 + (a+b)^2 = 3(a^2 — 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) =\)

\( = 3a^2 — 6ab + 3b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 4a^2 — 4ab + 4b^2. \)

Аналогично для второй дроби в числителе:

\( 3(a+b)^2 + (a-b)^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2) =\)

\( = 3a^2 + 6ab + 3b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = 4a^2 + 4ab + 4b^2. \)

Таким образом, выражение примет вид:

\( \frac{4a^2 — 4ab + 4b^2}{(a-b)^2} : \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2}{(a+b)^2}. \)

Теперь умножаем на обратную дробь и упрощаем:

\( = \frac{4(a^2 — ab + b^2) \cdot (a+b)^2 \cdot (a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)^2 \cdot 4(a^2 + ab + b^2) \cdot (a+b)(a^2 — ab + b^2)} = \frac{a+b}{a-b}. \)