ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{16}{(a-2)^4} : \left(\frac{1}{(a-2)^2} — \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}\right) — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

2) \( \frac{a+11}{a+9} — \left( \frac{a+5}{a^2-81} + \frac{a+7}{a^2-18a+81} \right) : \left( \frac{a+3}{a-9} \right)^2 = 1 \)

3) \( \left( a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b} \right) : \left( \frac{a}{a+b} — \frac{b}{a-b} — \frac{2ab}{a^2 — b^2} \right) = (a-b)^2 \)

1) \( \frac{16}{(a-2)^4} : \left(\frac{1}{(a-2)^2} — \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}\right) — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{16}{(a-2)^4} : \frac{(a+2)^2 — 2(a-2)(a+2) + (a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{16}{(a-2)^4} : \frac{a^2 + 4a + 4 — 2(a^2 — 4) + a^2 — 4a + 4}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{16}{(a-2)^4} : \frac{2a^2 + 8 — 2a^2 + 8}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{16}{(a-2)^4} : \frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{16}{(a-2)^4} \cdot \frac{(a-2)^2(a+2)^2}{16} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{a^2 + 4a + 4 — 8a}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{a^2 — 4a + 4}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = \frac{(a-2)^2}{(a-2)^2} = 1 \)

\( = 1 = 1 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

2) \( \frac{a+11}{a+9} — \left( \frac{a+5}{a^2-81} + \frac{a+7}{a^2-18a+81} \right) : \left( \frac{a+3}{a-9} \right)^2 = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \left( \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} \right) \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{a^2 — 9a + 5a — 45 + a^2 + 9a + 7a + 63}{(a+9)} \cdot \frac{1}{(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{2a^2 + 12a + 18}{(a+9)(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{2(a^2 + 6a + 9)}{(a+9)(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{2(a+3)^2}{(a+9)(a+3)^2} = 1 \)

\( = \frac{a+11}{a+9} — \frac{2}{a+9} = 1 \)

\( = \frac{a+11-2}{a+9} = 1 \)

\( = \frac{a+9}{a+9} = 1 \)

\( = 1 = 1 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

3) \( \left( a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b} \right) : \left( \frac{a}{a+b} — \frac{b}{a-b} — \frac{2ab}{a^2 — b^2} \right) = (a-b)^2 \)

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a+b) — (4a^2b — 4ab^2)}{a+b} : \left( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b-a} — \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \right) = (a-b)^2 \)

\( = \frac{a^3 + a^2b — ab^2 — b^3 — 4a^2b + 4ab^2}{a+b} : \frac{a(a-b) + b(a+b) — 2ab}{(a-b)(a+b)} = (a-b)^2 \)

\( = \frac{a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3}{a+b} : \frac{a^2 — ab + ab + b^2 — 2ab}{(a-b)(a+b)} = (a-b)^2 \)

\( = \frac{(a-b)^3}{a+b} : \frac{a^2 — 2ab + b^2}{(a-b)(a+b)} = (a-b)^2 \)

\( = \frac{(a-b)^3}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} = (a-b)^2 \)

\( = (a-b)^2 = (a-b)^2 \rightarrow \text{что и требовалось доказать.} \)

1) \( \frac{16}{(a-2)^4} : \left(\frac{1}{(a-2)^2} — \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}\right) — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1 \)

Рассмотрим выражение:

\( \frac{16}{(a-2)^4} : \left(\frac{1}{(a-2)^2} — \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}\right) — \frac{8a}{(a-2)^2}. \)

1. Начнем с упрощения дробей в знаменателе.

Выражение \( a^2 — 4 = (a-2)(a+2) \), так что вторая дробь \( \frac{2}{a^2-4} = \frac{2}{(a-2)(a+2)} \).

Таким образом, мы можем записать знаменатель как:

\( \frac{1}{(a-2)^2} — \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}. \)

2. Приведем дроби к общему знаменателю \( (a-2)^2(a+2)^2 \):

\( = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{2(a+2)}{(a-2)(a+2)^2} + \frac{(a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}. \)

3. Перепишем это выражение в виде:

\( = \frac{(a+2)^2 — 2(a-2)(a+2) + (a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}. \)

4. Упростим числитель:

\( (a+2)^2 = a^2 + 4a + 4, \quad (a-2)(a+2) = a^2 — 4,\)

\((a-2)^2 = a^2 — 4a + 4. \)

Таким образом, числитель становится:

\( a^2 + 4a + 4 — 2(a^2 — 4) + a^2 — 4a + 4 = a^2 + 4a + 4 — 2a^2 +\)

\(+ 8 + a^2 — 4a + 4 = 2a^2 + 8. \)

5. Числитель теперь \( 2a^2 + 8 \), и выражение становится:

\( \frac{2a^2 + 8}{(a-2)^2(a+2)^2}. \)

6. Теперь вернемся к исходному выражению:

\( \frac{16}{(a-2)^4} : \frac{2a^2 + 8}{(a-2)^2(a+2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2}. \)

7. Перепишем деление как умножение на обратную дробь:

\( = \frac{16}{(a-2)^4} \cdot \frac{(a-2)^2(a+2)^2}{2a^2 + 8} — \frac{8a}{(a-2)^2}. \)

8. Упростим дробь:

\( = \frac{16(a+2)^2}{(a-2)^2(2a^2 + 8)} — \frac{8a}{(a-2)^2}. \)

9. Выразим общий знаменатель:

\( = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2} — \frac{8a}{(a-2)^2} = 1. \)

10. Теперь числитель \( (a+2)^2 — 8a = a^2 + 4a + 4 — 8a = a^2 — 4a + 4 \), и выражение становится:

\( \frac{a^2 — 4a + 4}{(a-2)^2} = 1. \)

11. Преобразуем выражение:

\( \frac{(a-2)^2}{(a-2)^2} = 1. \)

12. Получаем \( 1 = 1 \), что и требовалось доказать.

2) \( \frac{a+11}{a+9} — \left( \frac{a+5}{a^2-81} + \frac{a+7}{a^2-18a+81} \right) : \left( \frac{a+3}{a-9} \right)^2 = 1 \)

1. Преобразуем выражения. Заметим, что \( a^2 — 81 = (a-9)(a+9) \), так что первая дробь \( \frac{a+5}{a^2-81} = \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} \), а вторая дробь \( \frac{a+7}{a^2-18a+81} = \frac{a+7}{(a-9)^2} \).

2. Теперь выражение выглядит так:

\( \frac{a+11}{a+9} — \left( \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} \right) \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = 1. \)

3. Приводим дроби в числителе к общему знаменателю \( (a-9)^2(a+9) \):

\( \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} = \frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}. \)

4. Упростим числитель:

\( (a+5)(a-9) = a^2 — 9a + 5a — 45 = a^2 — 4a — 45, \)

\( (a+7)(a+9) = a^2 + 9a + 7a + 63 = a^2 + 16a + 63. \)

5. Числитель становится:

\( a^2 — 4a — 45 + a^2 + 16a + 63 = 2a^2 + 12a + 18. \)

6. Таким образом, дробь упрощается до:

\( \frac{2a^2 + 12a + 18}{(a-9)^2(a+9)}. \)

7. Теперь умножим на \( \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} \):

\( \frac{2a^2 + 12a + 18}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = \frac{2(a^2 + 6a + 9)}{(a+9)(a+3)^2}. \)

8. Преобразуем дробь и упростим:

\( \frac{2(a+3)^2}{(a+9)(a+3)^2} = \frac{2}{a+9}. \)

9. Теперь у нас выражение:

\( \frac{a+11}{a+9} — \frac{2}{a+9} = 1. \)

10. Преобразуем:

\( \frac{a+11-2}{a+9} = 1. \)

11. Получаем:

\( \frac{a+9}{a+9} = 1, \)

что и требовалось доказать.

3) \( \left( a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b} \right) : \left( \frac{a}{a+b} — \frac{b}{a-b} — \frac{2ab}{a^2 — b^2} \right) = (a-b)^2 \)

1. Начнем с упрощения числителя:

\( a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b} = (a^2 — b^2) — \frac{4ab(a — b)}{a + b}. \)

2. В числителе \( a^2 — b^2 = (a-b)(a+b) \), так что:

\( (a-b)(a+b) — \frac{4ab(a-b)}{a+b}. \)

3. Вынесем общий множитель \( (a-b) \) за скобки:

\( (a-b)\left((a+b) — \frac{4ab}{a+b}\right). \)

4. Преобразуем выражение в скобках:

\( (a+b) — \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 — 4ab}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — 4ab}{a+b} = \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}. \)

5. Таким образом, числитель становится:

\( (a-b) \cdot \frac{(a-b)^2}{a+b} = \frac{(a-b)^3}{a+b}. \)

6. Теперь знаменатель:

\( \frac{a}{a+b} — \frac{b}{a-b} — \frac{2ab}{a^2-b^2}. \)

7. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{a}{a+b} — \frac{b}{a-b} = \frac{a(a-b) — b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 — ab — ab — b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 — 2ab — b^2}{(a+b)(a-b)} =\)

\( =\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a+b}. \)

8. Учитываем третий член \( \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \), и получаем:

\( \frac{a-b}{a+b} — \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2 — 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2 — 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = (a-b). \)

9. Числитель и знаменатель делятся на \( a-b \), и получаем:

\( \frac{(a-b)^3}{a+b} : (a-b) = (a-b)^2. \)

10. Таким образом, тождество доказано:

\( (a-b)^2 = (a-b)^2. \)