ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение \( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^{2}}-\frac{3}{b^{2}+3b}\right) \) принимает положительные значения.

\( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^{2}}-\frac{3}{b^{2}+3b}\right)=\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+ \)

\( +\frac{(b+3)^{2}}{(b-3)^{2}}\cdot\left(\frac{1}{b-3}-\frac{6}{(b-3)(b+3)}-\frac{3}{b(b+3)}\right)=\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+ \)

\( +\frac{(b+3)^{2}}{(b-3)^{2}}\cdot\frac{b(b+3)-6b-3(b-3)}{b(b-3)(b+3)}=\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\frac{(b+3)^{2}}{(b-3)^{2}}\cdot \)

\( \cdot\frac{b^{2}+3b-6b-3b+9}{b(b-3)(b+3)}=\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\frac{(b+3)^{2}}{(b-3)^{2}}\cdot\frac{b^{2}-6b+9}{b(b-3)(b+3)}= \)

\( =\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\frac{(b+3)^{2}\cdot(b-3)^{2}}{(b-3)^{2}\cdot b(b-3)(b+3)}=\frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}}+\frac{b+3}{b(b-3)}= \)

\( =\frac{b^{2}+9}{b^{2}(3-b)}-\frac{b+3}{b(3-b)}=\frac{b^{2}+9-b(b+3)}{b^{2}(3-b)}=\frac{b^{2}+9-b^{2}-3b}{b^{2}(3-b)}= \)

\( =\frac{9-3b}{b^{2}(3-b)}=\frac{3(3-b)}{b^{2}(3-b)}=\frac{3}{b^{2}}>0\) при всех допустимых значениях переменной, так как \(3>0\text{ и }b^{2}>0. \)

Доказательство того, что выражение \( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}} + \left(\frac{b+3}{b-3}\right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^{2}} — \frac{3}{b^{2}+3b} \right) \) при всех допустимых значениях переменной \( b \) принимает положительные значения:

Исходное выражение:

\( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}} + \left(\frac{b+3}{b-3}\right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^{2}} — \frac{3}{b^{2}+3b} \right). \)

1. Начнем с упрощения выражения внутри скобок в знаменателе второй дроби:

\( \frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^{2}} — \frac{3}{b^{2}+3b}. \)

2. Представим выражение \( 9-b^{2} = (3-b)(3+b) \), так что вторая дробь будет:

\( \frac{6}{(3-b)(3+b)}. \)

3. Рассмотрим третью дробь. Разложим знаменатель \( b^{2}+3b = b(b+3) \), так что третья дробь будет:

\( \frac{3}{b(b+3)}. \)

4. Теперь объединяем все три дроби, приводя их к общему знаменателю \( b(b+3)(3-b)(3+b) \):

\( \frac{1}{b-3} + \frac{6}{(3-b)(3+b)} — \frac{3}{b(b+3)} = \frac{(b(b+3)(3+b)) + 6b(b+3) — 3(3-b)(3+b)}{b(b+3)(3-b)(3+b)}. \)

5. Упростим числитель:

\( (b(b+3)(3+b)) + 6b(b+3) — 3(3-b)(3+b) = b^3 + 3b^2 + 3b^2 + 9b +\)

\(+ 6b^2 + 18b — 3(9 — b^2) = b^3 + 12b^2 + 27b — 27 + 3b^2. \)

6. После упрощения числитель принимает вид:

\( b^3 + 15b^2 + 27b — 27. \)

7. Таким образом, выражение внутри скобок преобразуется в:

\( \frac{b^3 + 15b^2 + 27b — 27}{b(b+3)(3-b)(3+b)}. \)

8. Теперь вернемся к исходному выражению и подставим найденное выражение в общую формулу:

\( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}} + \left( \frac{b+3}{b-3} \right)^{2} \cdot \frac{b^3 + 15b^2 + 27b — 27}{b(b+3)(3-b)(3+b)}. \)

9. Заметим, что числитель \( b^3 + 15b^2 + 27b — 27 \) имеет вид многочлена третьей степени, и он всегда положителен для всех допустимых значений \( b \), так как наибольший коэффициент (при \( b^3 \)) положителен.

10. Знаменатель состоит из произведений \( b \), \( b+3 \), и \( (3-b)(3+b) \), все из которых положительны для допустимых значений \( b \) (за исключением \( b = 3 \), где выражение не определено). Следовательно, знаменатель также всегда положителен для всех допустимых значений \( b \).

11. Таким образом, все выражение при допустимых значениях переменной \( b \) всегда положительно, так как числитель и знаменатель положительны.

12. Вывод: \( \frac{b^{2}+9}{3b^{2}-b^{3}} + \left( \frac{b+3}{b-3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^{2}} — \frac{3}{b^{2}+3b} \right) > 0 \) при всех допустимых значениях \( b \).