ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)  \( \left( \frac{1}{2-a} + \frac{6a-4-a^{2}}{a^{3}-8} — \frac{2-a}{a^{2}+2a+4} \right) \cdot \frac{a^{3}+4a^{2}+8a+8}{4-4a+a^{2}-a^{3}}  \)

2) \(\left( \frac{x-2y}{x^{3}+y^{3}} + \frac{y}{x^{3}-x^{2}y+xy^{2}} \right) : \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}-xy^{2}} + \frac{2y^{2}}{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}} \)

3) \( \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\cdot\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}} : \frac{b-a-c}{abc}  \)

1)  \( \left( \frac{1}{2-a} + \frac{6a-4-a^{2}}{a^{3}-8} — \frac{2-a}{a^{2}+2a+4} \right) \cdot \frac{a^{3}+4a^{2}+8a+8}{4-4a+a^{2}-a^{3}} = \)

\( = \left( \frac{1}{2-a} — \frac{6a-4-a^{2}}{(2-a)(4+2a+a^{2})} — \frac{2-a}{4+2a+a^{2}} \right) \cdot \)

\( \cdot \frac{(a^{3}+8)+(4a^{2}+8a)}{4(1-a)+a^{2}(1-a)} = \frac{4+2a+a^{2}-(6a-4-a^{2})-(2-a)^{2}}{(2-a)(4+2a+a^{2})} \cdot \)

\( \cdot \frac{(a+2)(a^{2}-2a+4)+4a(a+2)}{(1-a)(4+a^{2})} = \)

\( = \frac{4+2a+a^{2}-6a+4+a^{2}-4+4a-a^{2}}{(2-a)(4+2a+a^{2})} \cdot \)

\( \cdot \frac{(a+2)(a^{2}-2a+4+4a)}{(1-a)(4+a^{2})} = \frac{a^{2}+4}{(2-a)(4+2a+a^{2})} \cdot \)

\( \cdot \frac{(a+2)(a^{2}+2a+4)}{(1-a)(4+a^{2})} = \frac{(a^{2}+4) \cdot (a+2)(a^{2}+2a+4)}{(2-a)(4+2a+a^{2}) \cdot (1-a)(4+a^{2})} = \)

\( = \frac{a+2}{(2-a)(1-a)}; \)

2) \(\left( \frac{x-2y}{x^{3}+y^{3}} + \frac{y}{x^{3}-x^{2}y+xy^{2}} \right) : \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}-xy^{2}} + \frac{2y^{2}}{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}} = \)

\( = \left( \frac{x-2y}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} + \frac{y}{x(x^{2}-xy+y^{2})} \right) \cdot \frac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \)

\( + \frac{2y^{2}}{x^{2}(x+y)+y^{2}(x+y)} = \frac{x(x-2y)+y(x+y)}{x(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} \cdot \frac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} + \)

\( + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{x^{2}-2xy+xy+y^{2}}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} + \)

\( + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}} \cdot \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \)

\( = \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{(x-y)(x+y)+2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \)

\( = \frac{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{1}{x+y}; \)

3) \( \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\cdot\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}} : \frac{b-a-c}{abc} = \frac{\frac{b-c-a}{a(b-c)}}{\frac{b-c+a}{a(b-c)}} \cdot \frac{abc}{b-a-c} = \)

\( = \frac{b-c-a}{a(b-c)} \cdot \frac{a(b-c)}{b-c+a} \cdot \frac{abc}{b-a-c} = \)

\( = \frac{2bc-(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{2bc} \cdot \frac{abc}{b-a-c} = \frac{b-c-a}{a(b-c)} \cdot \frac{a^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2})}{2bc} \cdot \frac{abc}{b-a-c} = \)

\( = \frac{abc \cdot (b-c-a) \cdot (a^{2}-(b-c)^{2}) \cdot abc}{b-a-c \cdot (b-c+a) \cdot 2bc \cdot (b-a-c)} = \)

\( = \frac{a \cdot (a-b+c)(a+b-c)}{2(b-c+a)} = \frac{a(a-b+c)}{2} = 0{,}5a(a+c-b). \)

1) \( \left( \frac{1}{2-a} + \frac{6a-4-a^{2}}{a^{3}-8} — \frac{2-a}{a^{2}+2a+4} \right) \cdot \frac{a^{3}+4a^{2}+8a+8}{4-4a+a^{2}-a^{3}}  \)

Рассмотрим выражение:
\( \frac{1}{2-a} + \frac{6a-4-a^{2}}{a^{3}-8} — \frac{2-a}{a^{2}+2a+4}. \)

Обратите внимание, что \( a^{3} — 8 \) является разностью кубов, и её можно разложить:
\(
a^{3} — 8 = (a-2)(a^{2} + 2a + 4).
\)
Теперь перепишем выражение с этим разложением:
\(
\frac{1}{2-a} + \frac{6a-4-a^{2}}{(a-2)(a^{2} + 2a + 4)} — \frac{2-a}{a^{2}+2a+4}.
\)
Далее заметим, что \( 2 — a = -(a — 2) \), и перепишем выражение:
\(
\frac{1}{2-a} = -\frac{1}{a-2}.
\)
Теперь у нас есть:
\(
-\frac{1}{a-2} + \frac{6a-4-a^{2}}{(a-2)(a^{2} + 2a + 4)} — \frac{a-2}{a^{2}+2a+4}.
\)
Вынесем общий множитель \( \frac{1}{a-2} \):
\(
= \left( -\frac{1}{a-2} + \frac{6a-4-a^{2}}{(a-2)(a^{2} + 2a + 4)} \right) — \frac{a-2}{a^{2}+2a+4}.
\)
Теперь объединим эти выражения:
\(
= \frac{1}{a-2} \left( -1 + \frac{6a-4-a^{2}}{a^{2} + 2a + 4} \right) — \frac{a-2}{a^{2}+2a+4}.
\)

Теперь рассмотрим знаменатель второй части выражения: \( 4-4a+a^{2}-a^{3} \). Перепишем его:
\(
4-4a+a^{2}-a^{3} = -(a^{3}-4a^{2}+4a-4).
\)

Таким образом, выражение примет вид:
\(
\frac{(a^{3}+8)+(4a^{2}+8a)}{4(1-a)+a^{2}(1-a)} = \frac{(a+2)(a^{2}+2a+4)}{(a-1)(4+a^{2})}.
\)
Это выражение можно упростить:
\(
\frac{a+2}{(a-2)(1-a)}.
\)

2) \( \left( \frac{x-2y}{x^{3}+y^{3}} + \frac{y}{x^{3}-x^{2}y+xy^{2}} \right) : \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}-xy^{2}} + \frac{2y^{2}}{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}}  \)

Рассмотрим выражение:
\(
\frac{x-2y}{x^{3}+y^{3}} + \frac{y}{x^{3}-x^{2}y+xy^{2}}.
\)
Перепишем \( x^{3}+y^{3} \) как сумму кубов:
\(
x^{3}+y^{3} = (x+y)(x^{2}-xy+y^{2}).
\)
Также \( x^{3}-x^{2}y+xy^{2} \) можно привести к виду:
\(
x^{3}-x^{2}y+xy^{2} = x(x^{2}-xy+y^{2}).
\)
Таким образом, выражение примет вид:
\(
\frac{x-2y}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} + \frac{y}{x(x^{2}-xy+y^{2})}.
\)

Теперь рассмотрим следующее выражение:
\(
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{3}-xy^{2}} + \frac{2y^{2}}{x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}}.
\)
Рассмотрим разложение выражений:
\(
x^{3}-xy^{2} = x(x^{2}-y^{2}),
\)
и
\(
x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3} = (x+y)(x^{2}+y^{2}).
\)

Собираем всё это вместе и упрощаем:
\(
\frac{x(x-2y)+y(x+y)}{x(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} \cdot \frac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})}.
\)

Упростив, получаем:
\(
\frac{x^{2}-2xy+xy+y^{2}}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} + \frac{2y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})}.
\)

И окончательно:
\(
\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} = \frac{1}{x+y}.
\)

3) \( \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\cdot\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}} : \frac{b-a-c}{abc}  \)

Рассмотрим выражение:
\(
\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b-c}\cdot\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b-c}}.
\)
Вынесем общий множитель:
\(
\frac{b-c-a}{a(b-c)}.
\)

Рассмотрим знаменатель:
\(
\frac{b-c+a}{a(b-c)}.
\)

Теперь у нас есть:
\(
\frac{b-c-a}{a(b-c)} \cdot \frac{a(b-c)}{b-c+a} \cdot \frac{abc}{b-a-c}.
\)

Упростим выражение:
\(
\frac{abc \cdot (b-c-a) \cdot (a^{2}-(b-c)^{2}) \cdot abc}{b-a-c \cdot (b-c+a) \cdot 2bc \cdot (b-a-c)}.
\)

Результат:
\(
\frac{a \cdot (a-b+c)(a+b-c)}{2(b-c+a)} = 0.5a(a+c-b).
\)