ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных:

1) \( \frac{2}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2ab}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \)

2) \( \left(\frac{a^{2}}{4b^{3}}+\frac{2}{a}\right):\left(\frac{a}{2b^{2}}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a}\right):\frac{(a-2b)^{2}+8ab}{4+\frac{2a}{b}}\)

1) \( \frac{2}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2ab}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)=\frac{2}{(a+b)^{3}}\cdot\frac{a+b}{ab}+ \)

\( + \frac{1}{(a+b)^{2}}\cdot\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{2}{ab(a+b)^{2}}+\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}}=\frac{2ab+a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}}= \)

\( = \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}}=\frac{1}{a^{2}b^{2}}>0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( 1>0 \) и \( a^{2}b^{2}>0 \).

2) \( \left(\frac{a^{2}}{4b^{3}}+\frac{2}{a}\right):\left(\frac{a}{2b^{2}}-\frac{1}{b}+\frac{2}{a}\right):\frac{(a-2b)^{2}+8ab}{4+\frac{2a}{b}}=\frac{a^{3}+8b^{3}}{4ab^{3}}: \)

\( : \frac{a^{2}-2ab+4b^{2}}{2ab^{2}}:\frac{a^{2}-4ab+4b^{2}+8ab}{\frac{4b+2a}{b}}=\frac{a^{3}+8b^{3}}{4ab^{3}}: \)

\( : \frac{a^{2}-2ab+4b^{2}}{2ab^{2}}:\frac{b(a^{2}+4ab+4b^{2})}{4b+2a}=\frac{a^{3}+8b^{3}}{4ab^{3}}\cdot\frac{2ab^{2}}{a^{2}-2ab+4b^{2}}\cdot\frac{2(2b+a)}{b(a+2b)^{2}}= \)

\( : \frac{b(a+2b)^{2}}{2(2b+a)}=\frac{(a+2b)(a^{2}-2ab+4b^{2})\cdot2ab^{2}\cdot2(2b+a)}{4ab^{3}\cdot(a^{2}-2ab+4b^{2})\cdot b(a+2b)^{2}}= \)

\( =  \frac{4ab^{2}}{4ab^{4}}=\frac{1}{b^{2}}>0 \) при всех допустимых значениях переменной, так как \( 1>0 \) и \( b^{2}>0 \).

1) Докажем, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных. Рассмотрим выражение:

\( \frac{2}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2ab}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \)

Сначала упростим первое слагаемое. Раскроем скобки в выражении \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \):

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} \)

Тогда первое слагаемое примет вид:

\( \frac{2}{(a+b)^{3}} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{2(a+b)}{ab(a+b)^{3}} = \frac{2}{ab(a+b)^{2}} \)

Теперь упростим второе слагаемое. Приведем выражение \( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \) к общему знаменателю:

\( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{b^{2} + a^{2}}{a^{2}b^{2}} \)

Тогда второе слагаемое примет вид:

\( \frac{1}{a^{2} + b^{2} + 2ab} \cdot \frac{b^{2} + a^{2}}{a^{2}b^{2}} = \frac{1}{(a+b)^{2}} \cdot \frac{b^{2} + a^{2}}{a^{2}b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}} \)

Теперь сложим два слагаемых:

\( \frac{2}{ab(a+b)^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}} = \frac{2ab + a^{2} + b^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}} \)

Теперь упростим это выражение. Приведем числитель к общему знаменателю, получим:

\( \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}b^{2}(a+b)^{2}} = \frac{1}{a^{2}b^{2}} \)

Так как \( a^{2}b^{2} > 0 \) при всех допустимых значениях \( a \) и \( b \), то выражение \( \frac{1}{a^{2}b^{2}} > 0 \).

Таким образом, значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных.

2) Докажем, что следующее выражение также положительно при всех допустимых значениях переменных:

\( \left(\frac{a^{2}}{4b^{3}} + \frac{2}{a}\right) : \left(\frac{a}{2b^{2}} — \frac{1}{b} + \frac{2}{a}\right) : \frac{(a-2b)^{2} + 8ab}{4 + \frac{2a}{b}} \)

Рассмотрим первое слагаемое \( \frac{a^{2}}{4b^{3}} + \frac{2}{a} \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a^{2}}{4b^{3}} + \frac{2}{a} = \frac{a^{3} + 8b^{3}}{4ab^{3}} \)

Теперь рассмотрим второе слагаемое \( \frac{a}{2b^{2}} — \frac{1}{b} + \frac{2}{a} \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a}{2b^{2}} — \frac{1}{b} + \frac{2}{a} = \frac{a^{2} — 2ab + 4b^{2}}{2ab^{2}} \)

Теперь рассмотрим третье слагаемое \( \frac{(a-2b)^{2} + 8ab}{4 + \frac{2a}{b}} \). Упростим числитель:

\( (a-2b)^{2} + 8ab = a^{2} — 4ab + 4b^{2} + 8ab = a^{2} + 4ab + 4b^{2} \)

Теперь упростим знаменатель:

\( 4 + \frac{2a}{b} = \frac{4b + 2a}{b} \)

Таким образом, третье слагаемое примет вид:

\( \frac{a^{2} + 4ab + 4b^{2}}{4b + 2a} \)

Теперь мы можем записать весь выражение в виде:

\( \frac{a^{3} + 8b^{3}}{4ab^{3}} : \frac{a^{2} — 2ab + 4b^{2}}{2ab^{2}} : \frac{b(a^{2} + 4ab + 4b^{2})}{4b + 2a} \)

Это выражение можно записать как произведение дробей:

\( \frac{a^{3} + 8b^{3}}{4ab^{3}} \cdot \frac{2ab^{2}}{a^{2} — 2ab + 4b^{2}} \cdot \frac{2(2b + a)}{b(a+2b)^{2}} \)

Далее упростим это выражение. В числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители, которые можно сократить. В итоге мы получим:

\( \frac{4ab^{2}}{4ab^{4}} = \frac{1}{b^{2}} \)

Так как \( b^{2} > 0 \) при всех допустимых значениях \( b \), то выражение \( \frac{1}{b^{2}} > 0 \).

Таким образом, значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных.