ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\( \left( \frac{3(x+2)}{2(x^{3}+x^{2}+x+1)}+\frac{2x^{2}-x-10}{2(x^{3}-x^{2}+x-1)} \right): \)

:\( \left( \frac{5}{x^{2}+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)} \right)  \)

\( \left( \frac{3(x+2)}{2(x^{3}+x^{2}+x+1)}+\frac{2x^{2}-x-10}{2(x^{3}-x^{2}+x-1)} \right): \)

\( : \left( \frac{5}{x^{2}+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{3}{2(x-1)} \right) = \)

\( = \left( \frac{3(x+2)}{2(x^{2}(x+1)+(x+1))}+\frac{2x^{2}-x-10}{2(x^{2}(x-1)+(x-1))} \right): \)

\( : \left( \frac{5\cdot2(x^{2}-1)+3(x^{2}+1)(x-1)-3(x^{2}+1)(x+1)}{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)} \right) = \)

\(= \left( \frac{3(x+2)}{2(x+1)(x^{2}+1)}+\frac{2x^{2}-x-10}{2(x-1)(x^{2}+1)} \right): \)

\(: \left( \frac{10x^{2}-10+3(x^{3}-x^{2}+x-1)-3(x^{3}+x^{2}+x+1)}{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)} \right) = \)

\(= \frac{3(x+2)(x-1)+(2x^{2}-x-10)(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}: \)

\(: \frac{10x^{2}-10+3x^{3}-3x^{2}+3x-3-3x^{3}-3x^{2}-3x-3}{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)} = \)

\( = \frac{3(x^{2}+x-2)+2x^{3}+2x^{2}-x^{2}-x-10x-10}{2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}: \)

\(: \frac{4x^{2}-16}{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)} = \frac{3x^{2}+3x-6+2x^{3}+x^{2}-11x-10}{2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}: \)

\(: \frac{4(x^{2}-4)}{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)} = \frac{2x^{3}+4x^{2}-8x-16}{2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)} \cdot \frac{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{4(x^{2}-4)} = \)

\(= \frac{2x^{2}(x+2)-8(x+2)}{2(x^{2}-1)(x^{2}+1)} \cdot \frac{2(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{4(x^{2}-4)} = \frac{(x+2)(2x^{2}-8)}{4(x^{2}-4)} = \)

\( = \frac{2(x+2)(x^{2}-4)}{4(x^{2}-4)} = \frac{x+2}{2}. \)

Упростим выражение:

\( \left( \frac{3(x+2)}{2(x^{3}+x^{2}+x+1)} + \frac{2x^{2}-x-10}{2(x^{3}-x^{2}+x-1)} \right) : \)

\(: \left( \frac{5}{x^{2}+1} + \frac{3}{2(x+1)} — \frac{3}{2(x-1)} \right) \)

Шаг 1: Разложим полиномы в знаменателях:

Знаменатель первого слагаемого \( x^{3}+x^{2}+x+1 \) можно разложить на множители:

\( x^{3}+x^{2}+x+1 = (x+1)(x^{2}+1) \)

Знаменатель второго слагаемого \( x^{3}-x^{2}+x-1 \) можно разложить на множители:

\( x^{3}-x^{2}+x-1 = (x-1)(x^{2}+1) \)

Шаг 2: Подставим разложенные множители в выражение:

\( \frac{3(x+2)}{2(x+1)(x^{2}+1)} + \frac{2x^{2}-x-10}{2(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( 2(x+1)(x-1)(x^{2}+1) \), и выражение примет вид:

\( \frac{3(x+2)(x-1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} + \frac{(2x^{2}-x-10)(x+1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 4: Объединим дроби с одинаковым знаменателем:

\( \frac{3(x+2)(x-1) + (2x^{2}-x-10)(x+1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 5: Раскроем скобки в числителе:

Числитель первого слагаемого:

\( 3(x+2)(x-1) = 3(x^{2}-x+2x-2) = 3(x^{2}+x-2) = 3x^{2} + 3x — 6 \)

Числитель второго слагаемого:

\( (2x^{2}-x-10)(x+1) = 2x^{3} + 2x^{2} — x^{2} — x — 10x — 10 =\)

\(= 2x^{3} + x^{2} — 11x — 10 \)

Теперь числитель примет вид:

\( 3x^{2} + 3x — 6 + 2x^{3} + x^{2} — 11x — 10 = 2x^{3} + 4x^{2} — 8x — 16 \)

Шаг 6: Подставим числитель обратно в дробь:

\( \frac{2x^{3} + 4x^{2} — 8x — 16}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 7: Сократим на 2:

\( \frac{x^{3} + 2x^{2} — 4x — 8}{(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 8: Упростим числитель, выделив общий множитель:

\( x^{3} + 2x^{2} — 4x — 8 = (x+2)(x^{2}-x-4) \)

Таким образом, выражение примет вид:

\( \frac{(x+2)(x^{2}-x-4)}{(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 9: Перейдем ко второму выражению, которое находится после двоеточия:

\( \frac{5}{x^{2}+1} + \frac{3}{2(x+1)} — \frac{3}{2(x-1)} \)

Шаг 10: Приведем дроби ко общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{5}{x^{2}+1} \), \( \frac{3}{2(x+1)} \) и \( \frac{3}{2(x-1)} \) будет \( 2(x+1)(x-1)(x^{2}+1) \). Перепишем дроби с общим знаменателем:

\( \frac{5 \cdot 2(x+1)(x-1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} + \frac{3(x-1)(x^{2}+1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} — \frac{3(x+1)(x^{2}+1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 11: Объединим дроби:

\( \frac{10(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x^{2}+1) — 3(x+1)(x^{2}+1)}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 12: Раскроем скобки в числителе:

\( 10(x+1)(x-1) = 10(x^{2}-1) = 10x^{2} — 10 \)

\( 3(x-1)(x^{2}+1) = 3(x^{3}-x^{2}+x-1) = 3x^{3} — 3x^{2} + 3x — 3 \)

\( -3(x+1)(x^{2}+1) = -3(x^{3}+x^{2}+x+1) = -3x^{3} — 3x^{2} — 3x — 3 \)

Теперь числитель примет вид:

\( 10x^{2} — 10 + 3x^{3} — 3x^{2} + 3x — 3 — 3x^{3} — 3x^{2} — 3x — 3 = -6x^{2} — 16 \)

Шаг 13: Подставим числитель обратно в дробь:

\( \frac{-6x^{2} — 16}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 14: Разделим два выражения. Получим:

\( \frac{(x+2)(x^{2}-x-4)}{(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} : \frac{-6x^{2} — 16}{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \)

Шаг 15: Упростим дробь. Сначала инвертируем вторую дробь:

\( \frac{(x+2)(x^{2}-x-4)}{(x+1)(x-1)(x^{2}+1)} \cdot \frac{2(x+1)(x-1)(x^{2}+1)}{-6x^{2}-16} \)

Шаг 16: Упростим выражение. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\( \frac{(x+2)}{-2} \)

Итак, окончательное упрощенное выражение:

\( \frac{x+2}{2} \)