ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество \( \frac{\left( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}} + 1 \right)\left( \frac{a}{b-1} — 1 \right)}{\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — 1 \right)\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — \frac{a}{b-1} + 1 \right)} = 1. \)

\( \frac{\left( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}}+1 \right)\left( \frac{a}{b-1}-1 \right)}{\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}}-1 \right)\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}}-\frac{a}{b-1}+1 \right)} = 1. \)

1) \( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}}+1 = \frac{a^{3}+(b-1)^{3}}{(b-1)^{3}} = \)

\( = \frac{(a+(b-1))(a^{2}-a(b-1)+(b-1)^{2})}{(b-1)^{3}} = \)

\( = \frac{(a+b-1)(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)}{(b-1)^{3}}; \)

2) \( \frac{a}{b-1}-1 = \frac{a-(b-1)}{b-1} = \frac{a-b+1}{b-1}; \)

3) \( \frac{(a+b-1)(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)\cdot(a-b+1)}{(b-1)^{3}\cdot(b-1)}; \)

4) \( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}}-1 = \frac{a^{2}-(b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} = \frac{(a-(b-1))(a+b-1)}{(b-1)^{2}} = \)

\( = \frac{(a-b+1)(a+b-1)}{(b-1)^{2}}; \)

5) \( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}}-\frac{a}{b-1}+1 = \frac{a^{2}-a(b-1)+(b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} = \)

\( = \frac{a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1}{(b-1)^{2}}; \)

6) \( \frac{(a-b+1)(a+b-1)\cdot(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)}{(b-1)^{2}\cdot(b-1)^{2}}; \)

7) \( \frac{(a+b-1)(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)\cdot(a-b+1)}{(b-1)^{3}\cdot(b-1)}: \)

\( : \frac{(a-b+1)(a+b-1)\cdot(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)}{(b-1)^{2}\cdot(b-1)^{2}} = \)

\( = \frac{(a+b-1)(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)\cdot(a-b+1)\cdot(b-1)^{4}}{(b-1)^{4}\cdot(a-b+1)(a+b-1)(a^{2}-ab+a+b^{2}-2b+1)} = \)

\(= 1.\)

Следовательно,

\( 1 = 1 \) → что и требовалось доказать.

Докажем тождество:

\( \frac{\left( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}} + 1 \right)\left( \frac{a}{b-1} — 1 \right)}{\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — 1 \right)\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — \frac{a}{b-1} + 1 \right)} = 1. \)

Шаг 1: Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Числитель:

\( \left( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}} + 1 \right)\left( \frac{a}{b-1} — 1 \right) \)

Шаг 2: Упростим первое слагаемое \( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}} + 1 \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a^{3}}{(b-1)^{3}} + 1 = \frac{a^{3} + (b-1)^{3}}{(b-1)^{3}} \)

Теперь раскроем кубы:

\( a^{3} + (b-1)^{3} = (a + (b-1))((a)^{2} — a(b-1) + (b-1)^{2}) \)

Таким образом, числитель примет вид:

\( \frac{(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)}{(b-1)^{3}} \)

Шаг 3: Теперь рассмотрим второе слагаемое в числителе \( \frac{a}{b-1} — 1 \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a}{b-1} — 1 = \frac{a — (b-1)}{b-1} = \frac{a — b + 1}{b-1} \)

Шаг 4: Умножим полученные выражения:

\( \frac{(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)}{(b-1)^{3}} \cdot \frac{a — b + 1}{b-1} = \frac{(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)(a — b + 1)}{(b-1)^{4}} \)

Шаг 5: Рассмотрим знаменатель.

Знаменатель:

\( \left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — 1 \right)\left( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — \frac{a}{b-1} + 1 \right) \)

Шаг 6: Упростим первое слагаемое \( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — 1 \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — 1 = \frac{a^{2} — (b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} = \frac{(a — (b-1))(a + (b-1))}{(b-1)^{2}} \)

Таким образом, это выражение примет вид:

\( \frac{(a — b + 1)(a + b — 1)}{(b-1)^{2}} \)

Шаг 7: Рассмотрим второе слагаемое в знаменателе \( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — \frac{a}{b-1} + 1 \). Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{a^{2}}{(b-1)^{2}} — \frac{a}{b-1} + 1 = \frac{a^{2} — a(b-1) + (b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} \)

Теперь раскроем скобки в числителе:

\( a^{2} — a(b-1) + (b-1)^{2} = a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1 \)

Таким образом, второе слагаемое примет вид:

\( \frac{a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1}{(b-1)^{2}} \)

Шаг 8: Умножим два выражения в знаменателе:

\( \frac{(a — b + 1)(a + b — 1)}{(b-1)^{2}} \cdot \frac{a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1}{(b-1)^{2}} = \frac{(a — b + 1)(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)}{(b-1)^{4}} \)

Шаг 9: Теперь рассмотрим полное выражение:

\( \frac{(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)(a — b + 1)}{(b-1)^{4}} : \frac{(a — b + 1)(a + b — 1)(a^{2} — ab + a + b^{2} — 2b + 1)}{(b-1)^{4}} \)

Шаг 10: Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\( = 1 \)

Следовательно, тождество доказано:

\( 1 = 1 \) → что и требовалось доказать.