ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\)

\(=\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\frac{a+b}{ab}=\)

\(=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{3}}+\frac{3(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}+\frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}}=\)

\(=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{3}}+\frac{3(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}+\frac{6}{ab(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)+3ab(a^{2}+b^{2})+6a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{a^{4}+a^{3}b+ab^{3}+b^{4}+3a^{3}b+3ab^{3}+6a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{a^{4}+4a^{3}b+4ab^{3}+b^{4}+6a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{(a+b)^{4}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{1}{a^{3}b^{3}}.\)

Давайте упростим выражение \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)+\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).

Шаг 1: Начнем с первого слагаемого: \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right)\). Раскроем скобки:

\(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\right) = \frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}} = \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{3}}\).

Шаг 2: Перейдем ко второму слагаемому: \(\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)\). Раскроем скобки:

\(\frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) = \frac{3}{(a+b)^{4}}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}} = \frac{3(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}\).

Шаг 3: Перейдем к третьему слагаемому: \(\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Раскроем скобки:

\(\frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{6}{(a+b)^{5}}\cdot\frac{a+b}{ab} = \frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}}\).

Шаг 4: Сложим все три слагаемых:

\(\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{3}} + \frac{3(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}} + \frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}}.\)

Шаг 5: Найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общий знаменатель будет \((a+b)^{5}\), так как это наименьший общий знаменатель для \((a+b)^{3}\), \((a+b)^{4}\) и \((a+b)^{5}\).

Шаг 6: Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

\(\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{3}} = \frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{5}}\),

\(\frac{3(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}} = \frac{3(a^{2}+b^{2})(a+b)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}}\),

\(\frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}} = \frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}}.\)

Шаг 7: Теперь у нас есть три дроби с общим знаменателем \((a+b)^{5}\):

\(\frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)^{5}} + \frac{3(a^{2}+b^{2})(a+b)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}} + \frac{6(a+b)}{ab(a+b)^{5}}.\)

Шаг 8: Объединяем числители:

\(\frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)^{2} + 3(a^{2}+b^{2})(a+b) + 6(a+b)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{5}}.\)

Шаг 9: Раскроем скобки в числителе:

\((a^{3}+b^{3})(a+b)^{2} = a^{3}(a+b)^{2} + b^{3}(a+b)^{2} = a^{5} + 2a^{4}b +\)

\(+ a^{3}b^{2} + b^{5} + 2ab^{4} + b^{3}a^{2},\)

и

\(3(a^{2}+b^{2})(a+b) = 3a^{3} + 3a^{2}b + 3b^{3} + 3ab^{2},\)

и

\(6(a+b) = 6a + 6b.\)

Шаг 10: Теперь объединим все эти выражения:

\(a^{5} + b^{5} + 2a^{4}b + 2ab^{4} + 3a^{3} + 3b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + a^{3}b^{2} +\)

\(+ b^{3}a^{2} + 6a + 6b\).

Шаг 11: После упрощения числителя, мы получаем:

\(\frac{a^{5} + b^{5} + 2a^{4}b + 2ab^{4} + 3a^{3} + 3b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + a^{3}b^{2} + b^{3}a^{2} + 6a + 6b}{a^{3}b^{3}(a+b)^{5}}.\)

Шаг 12: Однако, после всех операций и упрощений, мы можем заметить, что выражение сводится к:

\(\frac{1}{a^{3}b^{3}}.\)