ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \( \frac{b+4}{b^2-6b+9} : \frac{b^2-16}{2b-6} — \frac{2}{b-4}  \)

2) \( \frac{2x}{x^2 — y^2} : \left( \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} — \frac{1}{y^2 — x^2} \right) \)

3) \( \left( \frac{2a-3}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a-1}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a}  \)

1) \( \frac{b+4}{b^2-6b+9} : \frac{b^2-16}{2b-6} — \frac{2}{b-4} = \frac{b+4}{(b-3)^2} \cdot \frac{2b-6}{b^2-16} — \frac{2}{b-4} = \)

\( = \frac{(b+4)\cdot 2(b-3)}{(b-3)^2 \cdot (b-4)(b+4)} — \frac{2}{b-4} = \frac{2}{(b-3)(b-4)} — \frac{2}{b-4} = \)

\( = \frac{2 — 2(b-3)}{(b-3)(b-4)} = \frac{2 — 2b + 6}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2b + 8}{(b-3)(b-4)} = \)

\( = \frac{-2(b-4)}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2}{b-3} = \frac{2}{3-b}; \)

2) \( \frac{2x}{x^2 — y^2} : \left( \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} — \frac{1}{y^2 — x^2} \right) = \frac{2x}{x^2 — y^2} : \)

\( : \left( \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)(x+y)} \right) = \frac{2x}{x^2 — y^2} : \frac{x — y + x + y}{(x+y)^2 (x — y)} = \)

\( = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} : \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)^2}{2x} = x + y; \)

3) \( \left( \frac{2a-3}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a-1}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a} = \left( \frac{2a-3}{(a-2)^2} — \frac{a-1}{a(a-2)} \right) \cdot \frac{a(a^2 — 4)}{a^2 — 2} = \)

\( = \frac{a(2a-3) — (a-1)(a-2)}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \)

\( = \frac{2a^2 — 3a — (a^2 — 3a + 2)}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \)

\( = \frac{2a^2 — 3a — a^2 + 3a — 2}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \)

\( = \frac{a^2 — 2}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \frac{a+2}{a-2}. \)

1) Начнем с выражения \( \frac{b+4}{b^2-6b+9} : \frac{b^2-16}{2b-6} — \frac{2}{b-4} \).
В первую очередь, заметим, что \( b^2 — 6b + 9 = (b-3)^2 \) и \( b^2 — 16 = (b-4)(b+4) \). Подставим эти выражения:

\( \frac{b+4}{(b-3)^2} : \frac{(b-4)(b+4)}{2(b-3)} — \frac{2}{b-4} = \)

Далее, преобразуем выражение деления. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

\( = \frac{b+4}{(b-3)^2} \cdot \frac{2(b-3)}{(b-4)(b+4)} — \frac{2}{b-4} = \)

Теперь упростим дроби:

\( = \frac{(b+4) \cdot 2(b-3)}{(b-3)^2 \cdot (b-4)(b+4)} — \frac{2}{b-4} = \)

В следующем шаге сократим множители \( (b+4) \) и \( (b-3) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{2}{(b-3)(b-4)} — \frac{2}{b-4} = \)

Далее, приводим дроби к общему знаменателю:

\( = \frac{2 — 2(b-3)}{(b-3)(b-4)} = \)

Упростим числитель:

\( = \frac{2 — 2b + 6}{(b-3)(b-4)} = \frac{-2b + 8}{(b-3)(b-4)} = \)

Теперь вынесем общий множитель \( -2 \) из числителя:

\( = \frac{-2(b-4)}{(b-3)(b-4)} = \)

Сократим \( (b-4) \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{-2}{b-3} = \frac{2}{3-b}; \)

2) Следующее выражение: \( \frac{2x}{x^2 — y^2} : \left( \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} — \frac{1}{y^2 — x^2} \right) \).
Сначала заметим, что \( x^2 — y^2 = (x+y)(x-y) \), а также \( y^2 — x^2 = -(x^2 — y^2) = -(x+y)(x-y) \). Подставим эти выражения:

\( \frac{2x}{(x+y)(x-y)} : \left( \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)(x+y)} \right) = \)

Приводим дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (x+y)^2(x-y) \):

\( = \frac{2x}{(x+y)(x-y)} : \frac{x — y + x + y}{(x+y)^2 (x — y)} = \)

Упростим числитель в скобках:

\( = \frac{2x}{(x+y)(x-y)} : \frac{2x}{(x-y)(x+y)^2} = \)

Теперь переведем деление на дробь в умножение на обратную дробь:

\( = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)^2}{2x} = \)

Сократим \( 2x \) в числителе и знаменателе, а также \( (x-y) \) и \( (x+y) \):

\( = x + y; \)

3) Следующее выражение: \( \left( \frac{2a-3}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a-1}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a} \).
Прежде чем продолжить, заметим, что \( a^2 — 4a + 4 = (a-2)^2 \), а также \( a^2 — 2a = a(a-2) \). Подставим эти выражения:

\( \left( \frac{2a-3}{(a-2)^2} — \frac{a-1}{a(a-2)} \right) : \frac{a^2 — 2}{a^3 — 4a} = \)

Сначала упрощаем выражение деления, преобразуя его в умножение на обратную дробь:

\( = \left( \frac{2a-3}{(a-2)^2} — \frac{a-1}{a(a-2)} \right) \cdot \frac{a(a^2 — 4)}{a^2 — 2} = \)

Теперь приводим дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( a(a-2)^2 \):

\( = \frac{a(2a-3) — (a-1)(a-2)}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \)

Рассчитаем числитель:

\( a(2a-3) = 2a^2 — 3a \)
\( (a-1)(a-2) = a^2 — 3a + 2 \)

Таким образом, числитель будет:

\( 2a^2 — 3a — (a^2 — 3a + 2) = 2a^2 — 3a — a^2 + 3a — 2 = a^2 — 2 \)

Теперь у нас есть:

\( = \frac{a^2 — 2}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 2} = \)

Сократим \( a^2 — 2 \) в числителе и знаменателе:

\( = \frac{a+2}{a-2}. \)