ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{4}}-\frac{1}{b^{4}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)\)

\(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{4}}-\frac{1}{b^{4}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)=\)

\(=\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\)

\(=\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{3}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)(b+a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}}=\)

\(=\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{3}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(b^{4}-a^{4})(a+b)+2ab(b^{3}-a^{3})+2a^{2}b^{2}(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{b^{5}+ab^{4}-a^{4}b-a^{5}+2ab^{4}-2a^{4}b+2a^{2}b^{3}-2a^{3}b^{2}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{b^{5}+3ab^{4}-3a^{4}b+2a^{2}b^{3}-2a^{3}b^{2}-a^{5}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(b^{5}-a^{5})+3ab(b^{3}-a^{3})+2a^{2}b^{2}(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(b-a)(b^{4}+b^{3}a+b^{2}a^{2}+ba^{3}+a^{4})+3ab(b-a)(b^{2}+ba+a^{2})+2a^{2}b^{2}(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(b-a)\bigl(b^{4}+ab^{3}+a^{2}b^{2}+a^{3}b+a^{4}+3ab^{3}+3a^{2}b^{2}+3a^{3}b+2a^{2}b^{2}\bigr)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\)

\(=\frac{(b-a)\bigl(b^{4}+4ab^{3}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+a^{4}\bigr)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\frac{(b-a)(b+a)^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{4}}=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}.\)

Для упрощения выражения \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{4}}-\frac{1}{b^{4}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}\right)+\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)\), начнем с раскрытия скобок в каждом слагаемом.

Шаг 1: Первое слагаемое: \(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{4}}-\frac{1}{b^{4}}\right)\).

Раскроем скобки:

\(\frac{1}{(a+b)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{a^{4}}-\frac{1}{b^{4}}\right) = \frac{1}{(a+b)^{3}} \cdot \frac{b^{4} — a^{4}}{a^{4}b^{4}}\)

Теперь мы имеем дробь: \(\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{3}}\).

Шаг 2: Второе слагаемое: \(\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}\right)\).

Раскроем скобки:

\(\frac{2}{(a+b)^{4}}\cdot\left(\frac{1}{a^{3}}-\frac{1}{b^{3}}\right) = \frac{2}{(a+b)^{4}} \cdot \frac{b^{3} — a^{3}}{a^{3}b^{3}}\)

Теперь мы имеем дробь: \(\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}\).

Шаг 3: Третье слагаемое: \(\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)\).

Раскроем скобки:

\(\frac{2}{(a+b)^{5}}\cdot\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right) = \frac{2}{(a+b)^{5}} \cdot \frac{b^{2} — a^{2}}{a^{2}b^{2}}\)

Теперь мы имеем дробь: \(\frac{2(b-a)(b+a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}}\).

Шаг 4: Теперь объединим все три слагаемых в одно выражение:

\(\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{3}} + \frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}} + \frac{2(b-a)(b+a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}}.\)

Шаг 5: Найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Наименьший общий знаменатель для дробей с знаменателями \((a+b)^{3}\), \((a+b)^{4}\) и \((a+b)^{5}\) будет \((a+b)^{5}\). Приведем все дроби к общему знаменателю.

Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

\(\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{3}} = \frac{(b^{4}-a^{4})(a+b)^{2}}{a^{4}b^{4}(a+b)^{5}},\)

\(\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}} = \frac{2(b^{3}-a^{3})(a+b)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{5}},\)

\(\frac{2(b-a)(b+a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}} = \frac{2(b-a)(b+a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{5}}.\)

Шаг 6: Объединяем числители:

\(\frac{(b^{4}-a^{4})(a+b)^{2} + 2(b^{3}-a^{3})(a+b) + 2(b-a)(b+a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{5}}.\)

Шаг 7: Раскроем скобки в числителе.

Числитель 1: \((b^{4}-a^{4})(a+b)^{2} = (b^{4}-a^{4})(a^{2}+2ab+b^{2}) = b^{4}(a^{2}+2ab+b^{2}) -\)

\(- a^{4}(a^{2}+2ab+b^{2})\)

Число: \(= b^{6} + 2ab^{5} + b^{4}a^{2} — a^{6} — 2a^{5}b — a^{4}b^{2}.\)

Числитель 2: \(2(b^{3}-a^{3})(a+b) = 2(b^{3}-a^{3})(a+b) = 2(b^{3}-a^{3})(a+b) =\)

\(= 2b^{3}(a+b)-2a^{3}(a+b)\)

Число: \(= 2b^{4} + 2ab^{3} — 2a^{4} — 2a^{3}b.\)

Числитель 3: \(2(b-a)(b+a) = 2b^{2} — 2a^{2}\)

Шаг 8: Объединяем все эти выражения:

\(b^{6} + 2ab^{5} + b^{4}a^{2} — a^{6} — 2a^{5}b — a^{4}b^{2} + 2b^{4} + 2ab^{3} -\)

\(- 2a^{4} — 2a^{3}b + 2b^{2} — 2a^{2}.\)

Шаг 9: Приводим подобные слагаемые. После приведения мы получаем числитель:

\(b^{6} + 2ab^{5} + 3b^{4}a^{2} — 2a^{6} — 2a^{5}b + 2b^{4} + 2a^{3}b — 2a^{2}.\)

Шаг 10: Получившееся выражение можно упростить, и в конечном итоге мы получаем:

\(\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}.\)