ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \(a + b + c = 7\), \(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 0{,}7\). Найдите значение выражения \( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \).

Так как \(a + b + c = 7\), а \(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 0{,}7\), то:

\((a + b + c)\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}\right) = 7 \cdot 0{,}7\)

\(\frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{c + a} = 4{,}9\)

\(\left(\frac{a + b}{a + b} + \frac{c}{a + b}\right) + \left(\frac{b + c}{b + c} + \frac{a}{b + c}\right) + \left(\frac{c + a}{c + a} + \frac{b}{c + a}\right) = 4{,}9\)

\(1 + \frac{c}{a + b} + 1 + \frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{c + a} = 4{,}9\)

\(\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} = 4{,}9 — 3\)

\(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1{,}9.\)

Ответ: \(1{,}9\).

Дано, что \(a + b + c = 7\) и \(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 0{,}7\). Необходимо найти значение выражения \( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \).

Шаг 1: Начнем с того, что выразим данное выражение через общие дроби. Мы имеем:

\(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}.\)

Шаг 2: Попробуем связать данное выражение с уже имеющимся условием. Из условия \(a + b + c = 7\) можем выразить \(a + b\), \(b + c\) и \(c + a\) как части общей суммы, что поможет упростить выражение. Например, в первом слагаемом мы имеем \(\frac{a}{b+c}\), где \(b + c = 7 — a\). Таким образом, можем переписать его как:

\(\frac{a}{7 — a}\),

аналогично для других слагаемых:

\(\frac{b}{7 — b}\) и \(\frac{c}{7 — c}\).

Шаг 3: Теперь запишем итоговое выражение:

\(\frac{a}{7 — a} + \frac{b}{7 — b} + \frac{c}{7 — c}.\)

Шаг 4: Из условия задачи известно, что:

\(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 0{,}7\).

Подставим сюда выражения для \(a + b\), \(b + c\) и \(c + a\):

\(\frac{1}{7 — c} + \frac{1}{7 — a} + \frac{1}{7 — b} = 0{,}7.\)

Шаг 5: Теперь имеем систему из двух выражений:

1) \(\frac{a}{7 — a} + \frac{b}{7 — b} + \frac{c}{7 — c}\),

2) \(\frac{1}{7 — c} + \frac{1}{7 — a} + \frac{1}{7 — b} = 0{,}7\).

Шаг 6: Мы видим, что выражение во втором уравнении очень похоже на выражение в первом, но в нем стоят единичные дроби. Поэтому можно заметить, что если мы умножим все дроби во втором уравнении на \(a + b + c = 7\), то мы получим числовое выражение для первого уравнения. Это дает нам следующее:

\( \frac{a}{7 — a} + \frac{b}{7 — b} + \frac{c}{7 — c} = 1{,}9.\)

Ответ: \(1{,}9\).