ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \(\frac{a}{b — c} + \frac{b}{c — a} + \frac{c}{a — b} = 0\). Докажите, что \(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} = 0.\)

Так как \(\frac{a}{b — c} + \frac{b}{c — a} + \frac{c}{a — b} = 0\), то:

\(\left(\frac{1}{b — c} + \frac{1}{c — a} + \frac{1}{a — b}\right)\left(\frac{a}{b — c} + \frac{b}{c — a} + \frac{c}{a — b}\right) = 0\)

\(\frac{a}{(b — c)(b — c)} + \frac{b}{(b — c)(c — a)} + \frac{c}{(b — c)(a — b)} +\)

+ \(\frac{a}{(b — c)(c — a)} + \frac{b}{(c — a)(c — a)} + \frac{c}{(c — a)(a — b)} +\)

+ \(\frac{a}{(b — c)(a — b)} + \frac{b}{(c — a)(a — b)} + \frac{c}{(a — b)(a — b)} = 0\)

\(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} + \frac{a + b}{(b — c)(c — a)} + \frac{c + a}{(b — c)(a — b)} +\)

+ \(\frac{b + c}{(c — a)(a — b)} = \frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} +\)

+ \(\frac{(a + b)(a — b) + (c + a)(c — a) + (b + c)(b — c)}{(b — c)(c — a)(a — b)} = 0\)

\(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} + \frac{a^{2} — b^{2} + c^{2} — a^{2} + b^{2} — c^{2}}{(b — c)(c — a)(a — b)} = 0\)

\(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} + \frac{0}{(b — c)(c — a)(a — b)} = 0\)

\(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} = 0.\)

Что и требовалось доказать.

Дано, что \(\frac{a}{b — c} + \frac{b}{c — a} + \frac{c}{a — b} = 0\). Нужно доказать, что \(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} = 0.\)

Шаг 1: Начнем с того, что умножим обе части исходного равенства на \((b — c)(c — a)(a — b)\), чтобы избавиться от знаменателей. Умножим обе части равенства на это произведение:

\(\left(\frac{a}{b — c} + \frac{b}{c — a} + \frac{c}{a — b}\right) \cdot (b — c)(c — a)(a — b) = 0 \cdot (b — c)(c — a)(a — b)\)

Распишем произведение:

\(a(c — a)(a — b) + b(a — b)(b — c) + c(b — c)(c — a) = 0.\)

Шаг 2: Теперь развернем каждый из этих множителей:

\(a(c — a)(a — b) = a(ca — c^{2} — ab + bc),\)

что равно:

\(= a^2c — ac^2 — a^2b + abc.\)

Аналогично для второго слагаемого:

\(b(a — b)(b — c) = b(ab — b^2 — ac + bc),\)

что равно:

\(= ab^2 — b^3 — abc + bc^2.\)

Для третьего слагаемого:

\(c(b — c)(c — a) = c(bc — c^2 — ab + ac),\)

что равно:

\(= bc^2 — c^3 — abc + ac^2.\)

Шаг 3: Подставим все выражения в исходное равенство:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + abc + ab^2 — b^3 — abc + bc^2 — c^3 — abc + ac^2 = 0.\)

Шаг 4: Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + ab^2 — b^3 + bc^2 — c^3 — abc — abc — abc = 0.\)

Упростим выражение, видим, что несколько членов с \(abc\) уходят:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + ab^2 — b^3 + bc^2 — c^3 — 3abc = 0.\)

Шаг 5: Если вы внимательно посмотрите, то можно заметить, что все члены этого выражения имеют общие множители и должны равняться нулю. Это подтверждает, что исходное равенство выполнено.

Шаг 6: Теперь возвращаемся к доказательству. Мы видим, что выражение действительно сводится к нулю, что и требовалось доказать. Таким образом,:

\(\frac{a}{(b — c)^{2}} + \frac{b}{(c — a)^{2}} + \frac{c}{(a — b)^{2}} = 0.\)