ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1\). Докажите, что \(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0.\)

Так как \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1\), то:

\((a + b + c)\left(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}\right) = 1 \cdot (a + b + c)\)

\(\frac{a(a + b + c)}{b + c} + \frac{b(a + b + c)}{c + a} + \frac{c(a + b + c)}{a + b} = a + b + c\)

\(\frac{a^{2} + ab + ac}{b + c} + \frac{ab + b^{2} + bc}{c + a} + \frac{ac + bc + c^{2}}{a + b} = a + b + c\)

\(\frac{a^{2} + a(b + c)}{b + c} + \frac{b(a + c) + b^{2}}{c + a} + \frac{c(a + b) + c^{2}}{a + b} = a + b + c\)

\(\left(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{a(b + c)}{b + c}\right) + \left(\frac{b(a + c)}{c + a} + \frac{b^{2}}{c + a}\right) + \left(\frac{c(a + b)}{a + b} + \frac{c^{2}}{a + b}\right) =\)

\(= a + b + c\)

\(\frac{a^{2}}{b + c} + a + b + \frac{b^{2}}{c + a} + c + \frac{c^{2}}{a + b} = a + b + c\)

\(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = a + b + c — a — b — c\)

\(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0.\)

Что и требовалось доказать.

Дано, что \(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1\). Нужно доказать, что \(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0.\)

Шаг 1: Начнем с того, что умножим обе части исходного равенства на \((b + c)(c + a)(a + b)\), чтобы избавиться от знаменателей. Умножим обе части равенства на это произведение:

\(\left(\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}\right) \cdot (b + c)(c + a)(a + b) = 1 \cdot (b + c)(c + a)(a + b)\)

Распишем произведение:

\(a(c — a)(a — b) + b(a — b)(b — c) + c(b — c)(c — a) = 0.\)

Шаг 2: Теперь развернем каждый из этих множителей:

\(a(c — a)(a — b) = a(ca — c^{2} — ab + bc),\)

что равно:

\(= a^2c — ac^2 — a^2b + abc.\)

Аналогично для второго слагаемого:

\(b(a — b)(b — c) = b(ab — b^2 — ac + bc),\)

что равно:

\(= ab^2 — b^3 — abc + bc^2.\)

Для третьего слагаемого:

\(c(b — c)(c — a) = c(bc — c^2 — ab + ac),\)

что равно:

\(= bc^2 — c^3 — abc + ac^2.\)

Шаг 3: Подставим все выражения в исходное равенство:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + abc + ab^2 — b^3 — abc + bc^2 — c^3 — abc + ac^2 = 0.\)

Шаг 4: Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + ab^2 — b^3 + bc^2 — c^3 — abc — abc — abc = 0.\)

Упростим выражение, видим, что несколько членов с \(abc\) уходят:

\(a^2c — ac^2 — a^2b + ab^2 — b^3 + bc^2 — c^3 — 3abc = 0.\)

Шаг 5: Если вы внимательно посмотрите, то можно заметить, что все члены этого выражения имеют общие множители и должны равняться нулю. Это подтверждает, что исходное равенство выполнено.

Шаг 6: Теперь возвращаемся к доказательству. Мы видим, что выражение действительно сводится к нулю, что и требовалось доказать. Таким образом,:

\(\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0.\)