ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}} + \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}.\)

\(\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}} + \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}.\)

Пусть \(\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}} = a\), тогда:

\(\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}} + \frac{1}{2+a} = \frac{1}{\frac{1+a+1}{1+a}} + \frac{1}{2+a} = \frac{1}{\frac{2+a}{1+a}} + \frac{1}{2+a} = \frac{1+a}{2+a} + \frac{1}{2+a} = \frac{1+a+1}{2+a} = \frac{2+a}{2+a} = 1.\)

Ответ: \(1\).

Найдем сумму:

\(\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}} + \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}}.\)

Шаг 1: Обозначим дробь \(\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\ldots+\frac{1}{n}}}}\) за \(a\), чтобы упростить выражение. Тогда мы получаем:

\(a = \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\dots + \frac{1}{n}}}}.\)

Шаг 2: Подставим \(a\) в первое слагаемое:

\(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + a}}\).

Шаг 3: Упростим выражение внутри знаменателя:

\(1 + a = 1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\dots + \frac{1}{n}}}}.\)

Теперь подставляем это обратно в исходное выражение:

\(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\dots + \frac{1}{n}}}}}} = \frac{1}{\frac{2 + a}{1 + a}}.\)

Шаг 4: Упростим это выражение:

\(\frac{1}{\frac{2 + a}{1 + a}} = \frac{1 + a}{2 + a}.\)

Шаг 5: Теперь рассмотрим второе слагаемое: \(\frac{1}{2 + a}\). Мы видим, что оно уже в нужной форме.

Шаг 6: Теперь сложим два слагаемых:

\(\frac{1 + a}{2 + a} + \frac{1}{2 + a}.\)

Шаг 7: Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{1 + a + 1}{2 + a} = \frac{2 + a}{2 + a} = 1.\)

Таким образом, сумма:

\(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\ldots + \frac{1}{n}}}}}} + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\ldots + \frac{1}{n}}}}} = 1.\)

Ответ: \(1\).