ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10.

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 3^n \cdot 3^2 — 2^n \cdot 2^2 + 3^n — 2^n = \)

\( = (3^n \cdot 3^2 + 3^n) — (2^n \cdot 2^2 + 2^n) = 3^n(3^2 + 1) — 2^n(2^2 + 1) = \)

\( = 3^n(9 + 1) — 2^n(4 + 1) = 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 = 10 \cdot \left(3^n — 2^n \cdot \frac{1}{2}\right) = \)

\( = 10 \cdot (3^n — 2^{n-1}) \rightarrow \) делится нацело на 10 при любом натуральном \( n \).

Нужно доказать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10.

Шаг 1: Раскроем выражение \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \). Начнем с того, что разложим степени в соответствии с правилами степени с одинаковыми основаниями:

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 3^n \cdot 3^2 — 2^n \cdot 2^2 + 3^n — 2^n. \)

Шаг 2: Упростим выражение, сгруппировав похожие члены:

\( = (3^n \cdot 3^2 + 3^n) — (2^n \cdot 2^2 + 2^n). \)

Шаг 3: Теперь вынесем \( 3^n \) и \( 2^n \) за скобки:

\( = 3^n(3^2 + 1) — 2^n(2^2 + 1). \)

Шаг 4: Подставим числовые значения для \( 3^2 = 9 \) и \( 2^2 = 4 \):

\( = 3^n(9 + 1) — 2^n(4 + 1). \)

\( = 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5. \)

Шаг 5: Теперь выразим это в виде произведения 10:

\( = 10 \cdot (3^n — 2^n \cdot \frac{1}{2}). \)

Шаг 6: Мы видим, что выражение представлено как произведение числа 10 и выражения \( 3^n — 2^{n-1} \). Таким образом, выражение всегда делится на 10, так как \( 10 \) является множителем.

Ответ: Выражение \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10 при любом натуральном \( n \).