ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 39.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \left(\frac{15}{x-7} — x — 7\right) \cdot \frac{7 — x}{x^2 — 16x + 64}  \)

2) \( \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{2}{b — a}  \)

3) \( \left(\frac{a}{a — 1} — \frac{a}{a + 1} — \frac{a^2 + 1}{1 — a^2}\right) : \frac{a^2 + a}{(a — 1)^2} \)

4) \( \left(\frac{x + 2y}{x — 2y} — \frac{x — 2y}{x + 2y} — \frac{16y^2}{x^2 — 4y^2}\right) : \frac{4y}{x + 2y}  \)

5) \( \left(\frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{a^3 + 8}\right) \cdot \frac{a^2 — 4}{4}  \)

1) \( \left(\frac{15}{x-7} — x — 7\right) \cdot \frac{7 — x}{x^2 — 16x + 64} = \left(\frac{15}{x-7} — (x + 7)\right) \cdot \frac{7 — x}{(x — 8)^2} = \)
\( = \frac{15 — (x + 7)(x — 7)}{x — 7} \cdot \frac{7 — x}{(x — 8)^2} = \frac{15 — x^2 + 49}{x — 7} \cdot \frac{7 — x}{(x — 8)^2} = \)
\( = \frac{-x^2 + 64}{x — 7} \cdot \frac{7 — x}{(x — 8)^2} = \frac{(8 — x)(8 + x) \cdot (7 — x)}{(x — 7) \cdot (8 — x)^2} = \frac{-(8 + x)}{8 — x} = \frac{x + 8}{x — 8}; \)

2) \( \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{2}{b — a} = \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{2}{b — a} = \)
\( = \frac{(a + b)^2 \cdot ab}{ab^2 \cdot (a — b)(a + b)} — \frac{2}{a — b} = \frac{a + b}{b(a — b)} — \frac{2}{a — b} = \frac{a + b — 2b}{b(a — b)} = \)
\( = \frac{a — b}{b(a — b)} = \frac{1}{b}; \)

3) \( \left(\frac{a}{a — 1} — \frac{a}{a + 1} — \frac{a^2 + 1}{1 — a^2}\right) : \frac{a^2 + a}{(a — 1)^2} = \left(\frac{a}{a — 1} — \frac{a}{a + 1} + \frac{a^2 + 1}{a^2 — 1}\right) \cdot \frac{(a — 1)^2}{a^2 + a} = \)
\( = \frac{a(a + 1) — a(a — 1) + a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a — 1)^2}{a^2 + a} = \)
\( = \frac{a^2 + a — a^2 + a + a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a — 1)^2}{a^2 + a} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a — 1)^2}{a^2 + a} = \)
\( = \frac{(a + 1)^2 \cdot (a — 1)^2}{(a — 1)(a + 1) \cdot a(a + 1)} = \frac{a — 1}{a}; \)

4) \( \left(\frac{x + 2y}{x — 2y} — \frac{x — 2y}{x + 2y} — \frac{16y^2}{x^2 — 4y^2}\right) : \frac{4y}{x + 2y} = \)
\( = \frac{(x + 2y)^2 — (x — 2y)^2 — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{x + 2y}{4y} = \)
\( = \frac{x^2 + 4xy + 4y^2 — x^2 + 4xy — 4y^2 — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{x + 2y}{4y} = \)
\( = \frac{8xy — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{x + 2y}{4y} = \frac{8y(x — 2y) \cdot (x + 2y)}{(x — 2y)(x + 2y) \cdot 4y} = 2; \)

5) \( \left(\frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{a^3 + 8}\right) \cdot \frac{a^2 — 4}{4} = \)
\( = \left(\frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}\right) \cdot \frac{a^2 — 4}{4} = \)
\( = \frac{(3a — 8)(a + 2) + (a^2 — 2a + 4) — (4a — 28)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \cdot \frac{a^2 — 4}{4} = \)
\( = \frac{3a^2 + 6a — 8a — 16 + a^2 — 2a + 4 — 4a + 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \cdot \frac{(a — 2)(a + 2)}{4} = \)
\( = \frac{4a^2 — 8a + 16}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \cdot \frac{(a — 2)(a + 2)}{4} = \frac{4(a^2 — 2a + 4) \cdot (a — 2)}{(a^2 — 2a + 4) \cdot 4} = \)
\( = a — 2. \)

1) \( \left(\frac{15}{x-7} — x — 7\right) \cdot \frac{7 — x}{x^2 — 16x + 64}  \)

Шаг 1: Упростим дробь в левой части.
\( \frac{15}{x — 7} — (x + 7) = \frac{15}{x — 7} — \frac{(x + 7)(x — 7)}{x — 7} = \frac{15 — (x + 7)(x — 7)}{x — 7} =\)

\( = \frac{15 — (x^2 — 49)}{x — 7} = \frac{15 — x^2 + 49}{x — 7} = \frac{-x^2 + 64}{x — 7} \)

Шаг 2: Теперь подставим результат в исходное выражение:
\( \frac{-x^2 + 64}{x — 7} \cdot \frac{7 — x}{(x — 8)^2} = \frac{-(x^2 — 64)}{(x — 7)(x — 8)^2} = \frac{-(x + 8)(x — 8)}{(x — 7)(x — 8)^2} \)

Шаг 3: Упростим выражение, сократив \((x — 8)\) в числителе и знаменателе:
\( \frac{-(x + 8)}{(x — 7)(x — 8)} = \frac{x + 8}{x — 8} \)

Ответ: \( \frac{x + 8}{x — 8} \)

2) \( \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{2}{b — a}  \)

Шаг 1: Объединяем дроби в первой части выражения:
\( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{a}{b^2} = \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab^2} \)

Шаг 2: Подставляем это в исходное выражение:
\( \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab^2} \cdot \frac{ab}{a^2 — b^2} + \frac{2}{b — a} = \frac{(a + b)^2 \cdot ab}{ab^2 \cdot (a — b)(a + b)} — \frac{2}{a — b} \)

Шаг 3: Сокращаем \(a + b\) и упрощаем выражение:
\( = \frac{a + b}{b(a — b)} — \frac{2}{a — b} = \frac{a + b — 2b}{b(a — b)} = \frac{a — b}{b(a — b)} = \frac{1}{b} \)

Ответ: \( \frac{1}{b} \)

3) \( \left(\frac{a}{a — 1} — \frac{a}{a + 1} — \frac{a^2 + 1}{1 — a^2}\right) : \frac{a^2 + a}{(a — 1)^2}  \)

Шаг 1: Преобразуем дробь в первой части выражения:
\( \frac{a}{a — 1} — \frac{a}{a + 1} = \frac{a(a + 1) — a(a — 1)}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{a^2 + a — a^2 + a}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{2a}{(a — 1)(a + 1)} \)

Шаг 2: Подставляем это в исходное выражение:
\( \frac{2a}{(a — 1)(a + 1)} + \frac{a^2 + 1}{a^2 — 1} = \frac{2a}{(a — 1)(a + 1)} + \frac{a^2 + 1}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a — 1)(a + 1)} \)

Шаг 3: Теперь подставим все это в выражение:
\( \frac{a^2 + 2a + 1}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a — 1)^2}{a^2 + a} = \frac{(a + 1)^2 \cdot (a — 1)^2}{(a — 1)(a + 1) \cdot a(a + 1)} = \frac{a — 1}{a} \)

Ответ: \( \frac{a — 1}{a} \)

4) \( \left(\frac{x + 2y}{x — 2y} — \frac{x — 2y}{x + 2y} — \frac{16y^2}{x^2 — 4y^2}\right) : \frac{4y}{x + 2y}  \)

Шаг 1: Преобразуем выражение в числителе:
\( \frac{x + 2y}{x — 2y} — \frac{x — 2y}{x + 2y} = \frac{(x + 2y)^2 — (x — 2y)^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \)

Шаг 2: Упростим разницу квадратов:
\( (x + 2y)^2 — (x — 2y)^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) — (x^2 — 4xy + 4y^2) = 8xy \)

Шаг 3: Подставим это в исходное выражение:
\( \frac{8xy}{(x — 2y)(x + 2y)} — \frac{16y^2}{x^2 — 4y^2} = \frac{8xy — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \)

Шаг 4: Теперь подставим в исходное выражение:
\( \frac{8xy — 16y^2}{(x — 2y)(x + 2y)} \cdot \frac{x + 2y}{4y} = \frac{8y(x — 2y)(x + 2y)}{(x — 2y)(x + 2y) \cdot 4y} = 2 \)

Ответ: 2

5) \( \left(\frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{a^3 + 8}\right) \cdot \frac{a^2 — 4}{4}  \)

Шаг 1: Разложим выражение в числителе:
\( \frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{a^3 + 8} = \frac{3a — 8}{a^2 — 2a + 4} + \frac{1}{a + 2} — \frac{4a — 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \)

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю:
\( \frac{(3a — 8)(a + 2) + (a^2 — 2a + 4) — (4a — 28)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \)

Шаг 3: Упрощаем числитель:
\( (3a — 8)(a + 2) = 3a^2 + 6a — 8a — 16 = 3a^2 — 2a — 16 \)
\( (4a — 28) = 4a — 28 \)

\( \frac{3a^2 — 2a — 16 + a^2 — 2a + 4 — 4a + 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = \frac{4a^2 — 8a + 16}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)} \)

Шаг 4: Умножаем на \( \frac{a^2 — 4}{4} \):
\( \frac{4(a^2 — 2a + 4)(a — 2)}{(a^2 — 2a + 4) \cdot 4} = a — 2 \)

Ответ: \( a — 2 \)